Mathematik Komplexe Exponentialfunktion?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Mir fällt auf, dass diverse Antworten verschwunden sind, auch Deine mit der abfotografierten Aufgabe. Diese allerdings ist auch ziemlich »verstümmelt«, denn Du hast nur einen relativ kleinen Ausschnitt der Aufgabe abfotografiert.

Jedenfalls ist nach der Euler'schen Formel

(1.1) e^{2it} = cos(2t) + i·sin(2t),

und dies ist zugleich

(1.2) (e^{it})² = (cos(t) + i·sin(t))² = cos²(t) + 2·i·cos(t)·sin(t) – sin²(t).

Der zu dem in (1.1-2) konjugierte Term ist

(2.1) e^{–2it} = cos(2t) – i·sin(2t),

was zugleich

(2.2) (e^{–it})² = (cos(t) – i·sin(t))² = cos²(t) – 2·i·cos(t)·sin(t) – sin²(t)

ist. Der reelle Teil der Funktion ist in diesem Fall zugleich der gerade oder symmetrische, der imaginäre Teil der ungerade bzw. antisymmetrische.

Der Sinus und der Cosinus werden durch nicht durch Konjugation allein, sondern Multiplikation mit i vertauscht:

(3) i·e^{2it}   = i·cos(2t) – sin(2t)

(4) i·e^{–2it} = i·cos(2t) + sin(2t)

Außerdem sind die Potenzgesetze anwendbar:

(5.1) e^{(–1–2i)·t} = e^{–t}·e^{–2it} = e^{–t}·(cos(2t) – i·sin(2t))

Die erste Komponente der Gleichung in der Aufgabe sollte eigentlich gerade (5.1) (mal c₂) sein, da die erste Komponente eine 1 ist.

Die zweite Komponente sollte

(5.2) c₂·(–1–2i)·e^{(–1–2i)·t}
     = c₂·(–1–2i)·e^{–t}·e^{–2it}
     = c₂·(–1–2i)·e^{–t}·(cos(2t) – i·sin(2t))
     = c₂·e^{–t}·(– cos(2t) + i·sin(2t) – 2i·cos(2t) – 2·sin(2t))

sein. Leider sehe ich nicht, was weiter links steht, ob etwa gesagt wird, dass das eine der Real- und das andere der negative Imaginärteil sei oder dergleichen mehr.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von sarah280696
02.09.2016, 09:43

Danke das hat mir sehr geholfen ! :) und ja es sind echt antworten verschwunden 😱.. komisch ..

0

Wirklich nicht? Ich bin mal drauf gestoßen :)
Die Lösung ist die Aufteilung von Real- und Imaginärbereich nach Exponent (durch sin und cos ausrechenbar) und dein Betrag des Ergebnisses ist e hoch dem Betrag deines Exponenten
(ist etwas her, wäre aber denke ich sinnvoll, und war auch so denk ich mal(macht ja Sinn))

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?