Mathematik Gruppen Frage?

 - (Mathe, Mathematik)

1 Antwort

Eine Gruppe G ist dann zyklisch erzeugt, wenn sie das Erzeugnis eines ihrer Gruppenelemente ist, d. h. wenn es ein Element g aus G gibt, so dass <g> = G gilt. <g> ist das Erzeugnis von g, d. h. die kleinste Untergruppe von G, die g enthält.

Wir haben zunächst den trivialen Fall, nämlich G = {e}. Dann wird G offenbar von e erzeugt, ist also zyklisch.

Angenommen, es gibt nun ein weiteres g in G, das nicht das neutrale Element ist.

Das Erzeugnis von g ist dann eine Untergruppe von G. Da G nur zwei Untergruppen hat, kann dann nur gelten <g> = {e} (aber dann wäre ja g = e und das haben wir ausgeschlossen) oder <g> = G. Also ist G endlich erzeugt - und zwar durch jedes ihrer Gruppenelemente außer dem neutralen Element.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

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