Mathematik, Grenzwerte bei einem vorgegebenen X.

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2 Antworten

Wenn sich x dem Wert -3 annähert, dann nähert sich der Zähler dem Wert 15, der Nenner wird betragsmäßig immer kleiner.

In der Folge wird der Betrag deines Ausdrucks immer größer, also gegen Unendlich streben. Das Vorzeichen hängt davon ab, ob du dich von links oder von rechts gegen -3 annäherst.

x=-3 einfach einsetzen geht nicht, denn da wird der Nenner 0. Und im Nenner darf nie 0 stehen.

In so einemFall machst du erst folgendes: Setze x=-3 in den Zähler ein. Wenn der auch 0 würde, dann könntest du durch x+3 kürzen und der Nenner wäre weg.

Nun, in diesem Fall wird der Zähler aber nicht 0, sondern:

x^2 -x-21 = | einsetzen x=-3

(-3)^2 - (-3) - 21 =

9 + 3 - 21 = -9

Für x=-3 ist der Zähler -9, also negativ. Der Zähler ist eine ganz normale Polynomfunktion (eine quadratische Funktion in diesem Fall), wenn der für x=-3 genau gleich -9 ist, dann ist er für x-Werte nahe bei -3 eben auch nahe bei -9 (Stichwort: Stetigkeit, falls ihr das hattet).

Da der Nenner für x->-3 gegen 0 geht, der Zähler aber gegen -9 (also von 0 verschieden), muss der Limes +unendlich oder -unendlich sein.

Schau nochmal den Nenner an: x+3. Für x=-3 ist der 0. Wenn x ein bisschen größer als -3 ist, ist er positiv. Der Zähler (hatten wir gerade festgestellt) ist dann negativ, nämlich nahe bei -9.
Minus durch Plus ergibt Minus. Der Limes müsste also -unendlich sein.

Dagegen:

Wenn x ein bisschen kleiner als -3 ist, ist der Nenner negativ. Der Zähler (hatten wir gerade festgestellt) ist dann auch negativ, nämlich nahe bei -9.
Minus durch Minus ergibt Plus. Der Limes müsste also +unendlich sein.

Huch, zwei Ergebnisse? Ja stimmt schon. Das heißt zunächst mal, dass es keinen Limes gibt, denn der müsste eindeutig sein.

Was wir hier haben, sind zwei einseitige Grenzwerte:

  • Der linksseitige Limes (x nähert sich so an -3 an, dass immer x<-3 ist) ist +unendlich.
  • Der rechtssseitige Limes (x nähert sich so an -3 an, dass immer x>-3 ist) ist -unendlich.

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