Mathematik, Extremwertaufgaben wie stelle ich Haupt und Nebenbedingung auf?

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1 Antwort

Die Summe zweier Zahlen beträgt 64

Es gilt also die Nebenbedinung:

a+b=64

Das Produkt ihrer Quadrate soll maximal werden.

Es gilt also die Zielfunktion:

f(a;b)=a²*b²

Wir stellen die Nebenbedingung nach einer Variablen um. Ich wähle a.

a+b=64 |-b

a=64-b

Wir setzen das in die Zielfunktion ein.

f(b)=(64-b)²*b²

Wir wenden die zweite binomische Formel an:

f(b)=(4096-128b+b²)*b²

Wir multiplizieren das b² in die Klammer rein.

f(b)=4096b²-128b³+b^4

Wir ordnen nach Potenzen.

f(b)=b^4-128b³+4096b²

Da die Zielfunktion maximiert werden soll, leiten wir sie ab und setzen sie gleich Null (notw. Bed.)

f'(b)=4b³-384b²+8192b

Das können wir nun mit etwas Können so umschreiben, dass die späteren Rechnungen sehr leicht werden.

Zunächst können wir 4b ausklammern.

f'(b)=4b*(4b²-384b+8192)

Zudem lässt sich der Teil in der Klammer in Faktoren zerlegen.

4b²-384b+8192=(b-32)*(b-64)

Daraus folgt:

f'(b)=4b*(b-32)*(b-64)

0=4b*(b-32)*(b-64)

Wir wenden den Satz des Nullprodukts an:

4b=0

oder

b-32=0

oder

b-64=0

Es ergeben sich 3 Werte für b:

b1=0

b2=32

b2=64

Wir bilden die zweite Ableitung der Funktion f(b). Um diese leichter ableiten zu können, nehmen wir wieder 4b³-384b²+8192b als f'(b), damit wir uns die lästige (und vielleicht noch gar nicht gelernte) Produktregel sparen können.

f'(b)=4b³-384b²+8192b

f''(b)=12b²-768b+8192

Für die notwendige Bedingung muss gelten: f''(b) ungleich 0

f''(0)=8192 ----->  8192>0, daher Tiefpunkt bei b=0

f''(32)=-4096 ----->  -4096<0, daher Hochpunkt bei b=32

f''(64)=8192  ----->  8192>0, daher Tiefpunkt bei b=32.

Der Wert für b beträgt also 32.

Um a zu ermitteln, nehmen wir unsere Gleichung von früher her:

a=64-b

und setzen b ein

a=64-32

a=32.

a hat also den selben Wert wie b.

Um das Produkt zu ermitteln, setzen wir 32 in f(b) ein.

f(32)=1048576

Alternativ kannst du auch 32²*32² rechnen.

Antwortsatz:

Die Zahlen a und b haben beide den Wert 32, das Produkt ihrer maximierten Werte beträgt 1048576

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