Mathematik: Binomialkoeffizient und Fakultät. Erklärung und eine Beispielaufgabe bitte :(

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3 Antworten

Fakultät kann man sich anschaulich vorstellen als die Anzahl der möglichen Anordnungen von verschiedenen Elementen in einer Reihe. Anschauliches Bsp:

n Personen stellen sich für ein Gruppenfoto in einer Reihe auf. Für das 2. Foto will Max nicht mehr neben Moritz stehen, sondern stellt sich an eine andere Position in der Reihe. Anschließend ändern sie noch mal die Aufstellung und so weiter und so weiter ...

Frage: Wie viele verschiedene Konstellationen gibt es insgesamt bei n Personen, die in einer Reihe stehen?

Antwort: n! (also n Fakultät)

Bei 3 Personen gibt es 3! = 6 verschieden Aufstellungen (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), bei einer Volleyballmannschaft mit 6 Spielern gibt es 6! = 720 verschiedene Aufstellungen in 1 Reihe und bei einer Fußballmannschaft gibt's 11! = 39.916.800 also fast 40 Million verschiedene Aufstellungen in 1 Reihe.

Ich denke, dass die schnellste Erklärung erst einmal die Definition ist:
Mit Fakulltät (geschrieben mit einem Ausrufezeichen) bezeichnet man ein Produkt aus aufsteigenden Zahlen, z,B.
4! = 1 * 2 * 3 * 4

Ein Binomialkoeffizient benutzt diese Definition. Man schreibt z.B.

7
4

Vor und hinter diese beiden Zahlen schreibt man eine große Klammer auf und Klammer zu. Es gibt keinen Bruchstrich,und man liest es
sieben über vier.
Die Bedeutng ist die Verkürzung eines besonderen Bruchs:

7 * 6 * 5 * 4 steht im Zähler
1 * 2 * 3 * 4 steht im Nenner
Dazwischen würde dann auch ein Bruchstrich stehen, wenn ich aber einen Strich ziehe, geht er gleich über die ganze Zeile.

Der Termim Nenner ist natürlich 4!
Und jetzt sehen wir auch, warum die 1 da vorn mitschreibt. Man prägt sich dann beser ein,dass man genau so viele Fajtoren in den Zähler wie in den Nenner schreibt.

Noch ein Beispiel:

5
2

= 5 * 4 ...... Zähler
/ 1 * 2 ...... Nenner

Ma kann dann immer viel kürzen, und es kommt auch stets eine ganze Zahl heraus!

Also bei einer derart allgemeinen Frage würde ich dir empfehlen, mal Onkel Google oder dein Mathebuch zu fragen. Die müssten doch voll davon sein.

Ganz kurz: n Fakultät = Produkt aller Zahlen von 1 bis n Binomialkoeffizient n über k = Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, aus n Elementen k verschiedene zu wählen (Bsp.: Kartenspiel mit 4 Assen, es gibt 6 = 4 über 2 Möglichkeiten, zwei Asse auszuwählen)

Thx!

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