Mathematik Beziehungen zwischen sinus cosinus und tangens?

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3 Antworten

Hier wurden einfach die Brüche addiert und folgende Identitäten genutzt:

(1) sin²(α) + cos²(α) = 1 (trigonometrischer Pythagoras)
(2) sin(α)/cos(α) = tan(α)

Zuerst wurde aus 1 der Bruch sin²(α)/sin²(α) gemacht und die beiden Brüche wurden addiert.

Heraus kommt: (sin²(α) - 1)/sin²(a)

Anschließend kann man sin²(α) auch wieder ersetzen, indem man den umgeformten trigonometrischen Pythagoras nutzt:

sin²(α) + cos²(α) = 1          | -1
sin²(α) - 1 + cos²(α) = 0     | -cos²(α)
sin²(α) - 1 = -cos²(α)

Also können wir statt sin²(α) - 1 auch einfach -cos²(α) einsetzen.

(sin²(α) - 1)/sin²(α) = -cos²(α)/sin²(α)

Jetzt können wir die zweite Identität nutzen, nämlich, dass der Tangens der Quotient aus Sinus und Kosinus ist.

Hier steht allerdings nicht sin(α)/cos(α), sondern genau das Gegenteil, nämlich der Kehrbruch cos(α)/sin(α).

Also formen wir die zweite Identität um:

sin(α)/cos(α) = tan(α)

Das funktioniert auch im Quadrat:

sin²(α)/cos²(α) = tan²(α)

tan²(α) ist ja auch nichts Anderes als tan²(α)/1.

sin²(α)/cos²(α) = tan²(α)/1

Jetzt drehen wir einfach auf beiden Seiten die Brüche um, vertauschen also Zähler und Nenner:

cos²(α)/sin²(α) = 1/tan²(α)

Und das setzen wir jetzt ein:

-cos²(α)/sin²(α) = -1/tan²(α)

Und schon haben wir das Ergebnis. Gar nicht so schwer, oder? Zugegebenermaßen muss man ein paar Mal um die Ecke denken, aber jetzt am Ende war es doch gar kein Drama, oder? :-)

LG Willibergi

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mit        sin² + cos² = 1     und       sin/cos = tan      und       a-b = -(b-a)

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1 - 1/sin² =

sin²/sin² - 1/sin²  =

(sin² - 1) / sin²   =

-(1 - sin²) / sin²  =

- cos² / sin²  =

- 1 / (sin²/cos²)  =

-1/tan²

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Du hast gegeben:

1 - 1/(sin²(a))

Du schreibst die 1 als sin²(a)/sin²(a) und hast dann:

sin²(a)/sin²(a) - 1/sin²(a)

Da nun die Nenner gleich sind kannst du es auf einen Bruchstrich schreiben:

(sin²(a) - 1)/sin²(a)

Der trigonometrische Pythagoras lautet: sin²(a) + cos²(a) = 1 also ist
sin²(a) - 1 = - cos²(a). Das setzt du nun ein:

-cos²(a)/sin²(a)

Weil sin/cos = tan ,ist cos/sin = 1/tan. Also:

-1/tan²(a)

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