Mathematik Beweis, Potenzen?

6 Antworten

Für a>1 ist a^x streng monoton steigend. Mit b>1 hast Du dann:

  • a^b > a^1 = a

Analog geht das alles für 0<a<1 (streng monoton fallend).

Die strenge Monotonie beweist Du ebenso leicht aus a^x>1 für a>1 und x>0:

  • a^y - a^x = a^x*(a^(y-x)-1) > 1*(1-1) = 0 , wenn y>x.

Willst Du a^x>1 auch noch beweisen?

Aber eine Potenz ist ja  also ist dann ja die Potenz kleiner als die Zahl.

Ich meinte eher sowas wie a hoch x ist immer größer als a, wenn x größer als 1 ist, das hätte ich womöglich dazuschreiben sollen :)

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@St3lla16

Auch das ist nicht korrekt und läßt sich mit einem Gegenbeispiel widerlegen:

0.5² = 0.25

Wattnu?

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@Roderic

Ich sollte vielleicht noch genauer werden, die erste Frage bezieht sich auf natürliche Zahlen größer 1, also ist die Basis genauso wie der Exponent element der natürlichen Zahlen größer als 1.

Die zweite frage war eben genau wie man für eine Basis die zwischen 0 und 1 liegt zeigt, dass der Wert kleiner wird.

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Also, um deine Frage nochmal korrekt zu formulieren (und in der Mathematik ist das meist mehr als die halbe Miete):

Satz: Sei a \in R und a > 1, n \in N, n>1. Dann gilt: a^n > a.

Beweis:

Angenommen, das ist nicht korrekt. Dann gibt es eine Kombination a' und n' mit den obigen Eigenschaften und a'^n' <= a'.

Zuerst beachten wir, dass a'^n" > 0 gilt (Potenzgesetz). Dann können wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus anwenden; der ist eine monoton wachsende Funktion für positive Zahlen, also bleibt das Ungleichheitszeichen, wie es ist:

ln (a'^n') <= ln (a')

Wegen der Logarithmus-Gesetze gilt

ln (a'^n') = n' * ln(a')

Das setzen wir ein und erhalten:

n' * ln(a') <= ln (a')

Da a' > 1 nach Voraussetzung, ist ln(a')>0; wir dividieren beide Seiten durch diesen Faktor und erhalten:

n' <= 1

was ein Widerspruch zur Annahme ist.

Also gibt es keine Zahlen a', n' für die die Behauptung nicht gilt, ergo gilt die Behauptung für alle Zahlen a, n, die die Voraussetzungen des Satzes erfüllen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Oh, und für n=1 ist die Behauptung trivial nicht erfüllt. Daher habe ich den Fall oben 'raugenommen.

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Die Frage ist zu ungenau. Du musst schon sagen aus welcher Menge Basis und Potenz sein sollen. Falls die Potenz eine natürliche Zahl ist, bietet sich die vollständige Induktion an.

Woher ich das weiß:Beruf – Studium der Informatik + Softwareentwickler seit 25 Jahren.

Du meinst a^b > a?

Das kann man nicht beweisen, es stimmt nämlich gar nicht.

Hab vergessen dazuzuschreiben, dass der Exponent Element der Natürlichen Zahlen und größer als 1 ist :)

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@triopasi

wann wäre denn a hoch einer natürliche zahl kleiner als a, bezogen auf Frage 1, also Basis und Exponent größer 1 und element der natürlichen Zahlen?

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@St3lla16

(-3)^3 = -27

Basis auch >1 gilt das. Aber das hast du auch nicht spezifiziert.

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@triopasi

Ja, nur ist -3 keine natürliche Zahl und nicht wirklich größer 1

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@St3lla16

Das mit der Basis >1 fast du aber such gerade erwähnt. Du musst dringen mal daran arbeiten genau zu spezifizieren was du meinst. Gerade in der Mathematik muss man sehr genau arbeiten.

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