Mathematik Aufgabe: Variable x ist auf beiden Seiten als Potenz der Gleichung gesucht. Wie geht das?

5 Antworten

Für 1)

4 * 5ⁿ + 968 = 12 * 5ⁿ - 32

Zuerst formen wir um, damit wir anschließend ausklammern können:

4 * 5ⁿ + 968 = 12 * 5ⁿ - 32           | -968
4 * 5ⁿ = 12 * 5ⁿ - 1000                 | - 12*5ⁿ
4 * 5ⁿ - 12 * 5ⁿ = -1000
5ⁿ(4 - 12) = -1000
-8 * 5ⁿ = -1000                            | : (-8)
5ⁿ = 125                                      | log₅
n = log₅(125) = 3

Für 2)

80 * 0,98ⁿ = 50 * 1,02ⁿ

Wichtig sind hierbei die folgenden drei Logarithmusgesetze:

logₓ(aⁿ) = n * logₓ(a)

logₓ(ab) = logₓ(a) + logₓ(b)

logₓ(a/b) = logₓ(a) - logₓ(b)

Wir wenden den Logarithmus (Basis beliebig) auf beide Seiten an:

log(80 * 0,98ⁿ) = log(50 * 1,02ⁿ)

log(80) + log(0,98ⁿ) = log(50) + log(1,02ⁿ)

log(80) + n * log(0,98) = log(50) + n * log(1,02)

Ein bisschen umstellen, dann erhalten wir:

n * log(0,98) - n * log(1,02) = log(50) - log(80)

n(log(0,98) - log(1,02)) = log(50) - log(80)

Wenden wir nun das dritte Logarithmusgesetz an:

n * log(0,98/1,02) = log(5/8)

             log(5/8)
n = ——————— ≈ 11,75
        log(0,98/1,02)

Präge dir die Logarithmusgesetze gut ein, dann ist das kein Problem mehr für dich. :)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Aufgabe 1: Substituiere z=5^x

Aufgabe 2:
Gleichung ist richtig
Auf beiden Seiten Logarithmus (egal welcher)

log (80 * 0,98^x) = log (50 *1,02^x)

Dann Formel anwenden log (a*b) = log a + log b

log 80 + log 0,98^x = log 50 + log 1,02^x

Dann Formel anwenden log a^b = b*log a

log 80 + x*log 0,98 = log 50 + x* log 1,02

log 80 - log 50 = (log 1,02 - log 0,98) * x

x = (log 80 - log 50) / (log 1,02 - log 0,98)

Ja, das geht.

4 * 5 ^ x + 968 = 12 * 5 ^ x - 32 | - 4 * 5 ^ x und + 32

1000 = 8 * 5 ^ x | : 8

5 ^ x = 125

x = ln(125) / ln(5)

x = 3

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