Mathematik Aufgabe unlösbar ?

...komplette Frage anzeigen Was soll es überhaupt sein? - (Mathematik, Student, Bachelor)

3 Antworten

Hallo,

es wird dir helfen, wenn du die Zeilen der Aufgaben in einen Satz umformst.

∃   bedeutet "es gibt ein(e)"

∀   bedeutet " für alle"

Übersetzung von "∃ n₀ ∈ ℕ  ∀k ∈ ℕ : k ≤ n₀": (A)

Es gibt eine natürliche Zahl n₀, so dass für alle natürliche Zahlen k gilt : k ist kleiner oder gleich n₀.

Kann das sein?

Beispiele

n₀ = 100. Gilt für alle natürlichen Zahlen k, dass sie kleiner als 100 sind?Natürlich nicht. Beweis: k = 101 ist grösser als 100; überhaupt, jedes k grösser als 100 erfüllt nicht die Bedingung von (A) mit diesem n₀.

Zweiter Versuch: n₀ = 1 000 000 (1 Millionen)
Sind für dieses n₀ alle natürlichen Zahlen k kleiner als n₀ ?
Natürlich auch nicht. Beispiel: k = 1 000 001 ist grösser als n₀, und es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, die grösser als 1 Millionen sind.

Man sieht, dass man n₀ noch so gross wählen kann, es gibt immer natürliche  Zahlen k die grösser als n₀ sind. Man braucht nur. k = n₀ +1 zu wählen,  und schon ist die Aussage (A) widerlegt.. Also muss die Aussage (A) falsch sein.

Wie muss man (A) umschreiben, dass sie zu einer wahren Aussage wird?

Antwort : ∀ n₀ ∈ ℕ ∃ k ∈ ℕ : k > n₀ . (A')

Übersetzung : für alle natürlichen Zahlen n₀ gibt es eine natürliche Zahl k für die gilt : k ist grösser als n₀.

Die Aussage (A') ist wahr. Für jede (noch so grosse) natürliche Zahl n₀ gibt es eine natürliche Zahl k, die grösser als n₀ ist.
Beweis: k = n₀+1 ist eine natürliche Zahl und grösser als n₀ (wie gross n₀ auch immer sein mag).

Wie wurde aus der falschen Aussage (A) eine wahre Aussage (A')?

Vergleichen wir die beiden Aussagen:

(A)  ∃ n₀ ∈ ℕ  ∀k ∈ ℕ : k ≤ n₀
(A') ∀ n₀ ∈ ℕ ∃ k ∈ ℕ : k > n₀

Man sieht, dass ∃ zu ∀, ∀ zu ∃ und ≤ zu > wurde.

(A') ist die Verneinung von (A), und man sieht an dem Beispiel, wie man formal die Verneinung von (A) formuliert hat.

Entsprechend sollen die beiden anderen Aussagen bearbeitet werden.

Gruss


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1. Aussage: falsch (k=nₒ+1 wäre ein Gegenbsp, das die Behauptung widerlegt)
2. Aussage: richtig (k=nₒ+1)
3. Aussage: ich glaube: richtig mit M = Ø bin mir aber nicht ganz 100% sicher um diese Uhrzeit ;-)

Studierst du Mathe im 1. Semester?

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ein paar kleine Tipps. Achte darauf in welcher Reihenfolge "exsistiert" und "für alle" steht. Wenn erst "für alle" und dann "exsisitert" steht, dann heißt es, dass für alle dieses eine exsistiert. Umgedreht würde es heißen, dass eins exsistiert für alle, aber es muss sich nicht um ein und das Selbe handeln.

Demzufolge da N unendlich ist sollte sich immer ein größeres Element finden lassen, demzufolge sollte die erste Aussage wahr sein. Nach meiner Erklärung der Reihenfolge der Zeichen sollte die zweite Aussage falsch sein. Für die dritte müsste ich mich jetzt wieder in das Thema einlesen. Ist schon ein Jahr her, dass ich solche Sachen machen musste.

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