Mathematik -Aufgabe - Behauptung beweisen?

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3 Antworten

Der Differentialquotient einer Funktion f(x) zweiter Ordnung lautet

f''(x) = lim[h -> 0] ((f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2

Die Funktion ist linksgekrümmt, wenn f''(x) > 0 gilt, also

((f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2 > 0
f(x+h) - 2f(x) + f(x-h) > 0
f(x+h) + f(x-h) > 2f(x)
2f(x) < f(x+h) + f(x-h)
f(x) < 1/2 * f(x+h) + 1/2 * f(x-h)

Jetzt setzt man

z1 = x+h
z2 = x-h, daraus folgt

z1+z2=2x
x=(z1+z2)/2

also

f( (z1+z2)/2 ) < 1/2 * f(z1) + 1/2 * f(z2)

q.e.d.

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Kommentar von Vegetah
04.03.2017, 15:33

Danke, eine Frage hab ich noch: Wie kommt man auf den Differentialquotienten zweiter Ordnung?

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  Ich bin skeptisch; eine Krümmung wäre nur definiert  für zwei Mal differenzierbare Funktionen. Außerdem wäre nach deiner Definition schon eine Gerade links gekrümmt, was eindeutig nicht dem Sprachgebrauch entspricht.

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Ist auch eine Funktion angegeben?

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