Mathematik — Problem?

5 Antworten

Als erstes die Gleichung so umformen, dass man leicht berechenbare Funktionen hat.

Z. B. x = a^(1/4)  (^(1/4) ist eine Schreibweise für die 4. Wurzel)

in x^4 = a

d. h. f(x) = x^4

gesucht ist x so, dass f(x) = a

bzw.

g(x) = f(x) - a

gesucht ist eine Nullstelle von g

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Intervallschachtelung von Hand: erst mal die höchste Ziffer erraten oder durchprobieren.

Dann für die jeweils nächste Ziffer 5 ausprobieren, falls man drüber kommt 2 oder 3, sonst 7 oder 8, usw., bis man diese Ziffer eingegrenzt hat (z. B. bei 3,1^4 zu klein und 3,2^4 zu groß), dann zur nächsten Ziffer übergehen.

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Regula falsi (Sekantenverfahren):

Du suchst einen Wert für x, bei dem etwas zu kleines rauskommt, und einen Wert für x, bei dem etwas zu großes rauskommt. Dann bestimmst du den Schnittpunkt der Verbindungsgerade der zugehörigen Punkte mit der x-Achse.

Wenn die beiden gefundenen Punkte x1 und x2 und die zugehörigen Funktionswerte y1 = g(x1) und y2 = g(x2) sind, dann

x_Mitte = (x1 y2 - x2 y1) / (y2 - y1)

Je nach Vorzeichen von g(x_Mitte) wird x1 oder x2 durch x_Mitte ersetzt

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Newton-Verfahren

Du suchst einen Wert für x, der nicht "allzu weit weg" von einer Lösung liegt. Den nennst du x_0.

Dann "iterierst" du:

x_(n+1) = x_n - g(x_n) / g'(x_n)

bis zur gewünschten Genauigkeit.

wobei g' die "Ableitung" von g ist. (Falls ihr das noch nicht in der Schule hattet, nimm eins der anderen Verfahren)

Benutze bspw. das Newtonverfahren:

f(x) = x^4 - z  ,  z > 0

x ist genau dann eine Lösung wenn gilt:

f(x) = 0  --> x = z^(1/4)

Die lineare Approximation in (x | f(x) )  liefert uns hier:

f(x+h) = f(x) + f´(x)*h

Angenommen dies wäre eine gute Näherung unserer Funktion, so würde die Nullstelle dieser Gleichung eine Näherung für die Nullstelle der eigentlichen Gleichung darstellen (natürlich unter gewissen Bedingungen). Wir setzen also:

f(x+h) = 0

somit dann also:

 0 = f(x) + f´(x)*h

--> h = - (f(x)/f´(x))  , |f´(x)| > 0

Damit wäre dann unsere Näherungslösung: x1 = x0 + h0

Wiederholtes anwenden liefert uns dann unter günstigen Bedingungen immer bessere Lösungen. In diesem Falle:

f(x) = x^4 - z

f´(x) = 4*x^3

Angenommen wir wollten berechnen:  (17)^(1/4) = ?

Wir würden dann einen Startwert aus der näheren Umgebung wählen, wir wissen bspw:   (16)^(1/4) = 2  , daher wird der gesuchte Wert wahrscheinlich nahe bei 2 liegen.

Wir wählen: x0 = 2.25

x(n+1) = x(n) - (f(x(n))/f´(x(n))) = x(n) - [(x(n))^4 - z]/[4*(x(n))^3]

Einsetzen liefert uns dann:

x1 = x0 + h0 = 2.06061385

x2 = x1 + h1 = 2.03119504

x3 = x2 + h2 = 2.03054350

x4 = x3 + h3 = 2.03054318

x5 = x4 + h4 = 2.03054318

...  dies ist dann das Ende meiner maximalen Rechenauflösung. Als vergleich der Wert den der Taschenrechner dazu ausspuckt:

(17)^(1/4) = 2.0354318 = x5

die beiden Werte sind in dieser Auflösung also identisch.

Das hier benutze Verfahren, das Newton-Verfahren, taucht in vielen Anwendungen auf. Bspw. benutzt dein Taschenrechner dieses um die Quadratwurzel einer Zahl zu bestimmen, sowie noch in vielen anderen Anwendungen.

Hi, Danke für deine lange Antwort, aber ich habe kein Wort verstanden. Wie hat man es denn dir beigebracht? :)

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@KEVIN0101

Es würde zulange dauern dir das auf die gleiche Weise beizubringen (Uni). Du kannst einfach mal hier schauen, da wird das Prinzip bildlich dargestellt:

http://www.nibis.de/~lbs-gym/AnalysisTeil3pdf/NewtonscheNaeherungsverfahren.pdf

Oder der Wiki-Artikel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Oder ein Video von:

SimpleMaths:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Daniel Jung:

https://www.youtube.com/watch?v=xsk7IZsdR6Y

Vorraussetzungen zum Verständnis sind Kenntnisse der:

- Differentialrechnung

- Analisis (Folgen, Grenzwerte, Konvergenz)

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So wie man eine Potenz als produkt einfacher rechnen kann, kann man eine Wurzel auch als bruch rechnen:

2.W(22) ==> 22/x² =1 wäre x=4 (² 16) Rest 6 , nächstes Quadrat 4, also x=2 macht x=4,2 bleibt Rest 2 nächstes Quadrat 1 also x=1 macht x=4,21... usw.

Läuft falsch, muss ich noch mal durchdenken! Die Umformung in den Bruch ist allerdings richtig.

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