Mathematik - Beispiel?
Guten Tag.
Ich würde gerne um ihre Hilfe bitten - folgende Aufgabe soll mithilfe der quadratischen Ergänzung umgeformt werden.
y = 2x² - 12x + 22
Ich komme jedoch auf kein Ergebnis.
Vielen Dank.
7 Antworten
Hallo,
klammere zunächst die 2 aus: 2*(x²-6x+11)
Die quadratische Ergänzung bekommst Du, wenn Du die Zahl, die dann noch vor dem x steht, also -6, zunächst halbierst und dann quadrierst.
-6/2=-3 und (-3)²=9.
Die quadratische Ergänzung ist also die 9. Sie ergänzt x²-6x zu einem Binom:
x²-6x+9=(x-3)²
Da Du die 9 einfach so addiert hast, mußt Du sie natürlich wieder subtrahieren, um die Funktionsgleichung nicht zu verändern; Du willst sie ja nur umformen.
Also: f(x)=2*((x-3)²-9+11)=2*((x-3)²+2)=2*(x-3)²+4.
Nun kannst Du direkt den Scheitelpunkt (3|4) ablesen.
Nullstellen gibt es keine, denn wegen des positiven Faktors vor dem x² ist die Parabel nach oben geöffnet. Außerdem befindet sich der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse. Eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse wird diese nirgends schneiden.
Herzliche Grüße,
Willy
Hier mal langsam:
y = 2x² - 12x + 22 = 2 (x² - 6x + 11)
"x² - 6x" vergleichst du mit a² - 2ab (dem ersten Teil des binomischen Ausdrucks a² - 2ab + b²)
es folgt: a=x und b=6/2 = 3
du hast nun
(x-3)² = x² - 6x + 9
um x² - 6x zu erhalten, musst du 9 abziehen:
(x-3)² - 9 = x² - 6x
gefragt ist aber: x² - 6x + 11. deswegen addierst du oben 11:
(x-3)² - 9 + 11 = x² - 6x + 11
also:
(x-3)² + 2 = x² - 6x + 11
und gesamt
2x² - 12x + 22 = 2 * ((x-3)² + 2)
y = 2 * (x² - 6x + 3² - 3²) +22
y = 2 * (x - 3)² - 2 * 3² + 22
y = 2 * (x - 3)² + 4
f(x) = 2x² - 12x + 22
= 2(x²-6x+11)
= 2(x-3)²-9+11
= 2(x-3)² + 2
= 2((x-3)² + 1)
Es gibt keine reelle Nullstelle:
(x-3)² + 1 = 0 <=> (x-3)² = -1
BeI mir kommt auch nichts raus, ich würde es lieber mit der pq-Formel machen geht viel schneller einfach einsetzten.
Sorry, ist falsch! Habe die Klammer vergessen!