Mathemathik Funktionen Hochpunkt und (Aufschlagswinkel)Winkel

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3 Antworten

die 1. Ableitung ist der Anstieg, also y' ist der Tangens des Winkels zu einer horizontalen Linie durch diesen Punkt (setz die Stelle x in die 1. Ableitung ein)

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Mit

a = 1/250; b = 0,4 = 2/5

lässt sich die Parabel platzsparend schreiben:

g(x) = -ax² + bx = x(-ax +b) (1)


g(x) hat den Wert g(x) = 0 (Höhe 0), wenn einer der Faktoren = 0 wird, also für x = 0 und für

-ax +b = 0; | -b

-ax = -b; | : (-a) ≠ 0 (w)

x = -b/(-a) = b/a; (2)

Dort ist die Aufschlagstelle.


Wegen a > 0 ist diese Parabel nach unten geöffnet, und ihr Scheitel ist ihr (einziger) Hochpunkt. Im Gegensatz zu Spielkamerad denke ich nicht, dass hier unbedingt mit zweiter Ableitung argumentiert werden muss, auch wenn das die "Standardmethode" ist.

Der x-Wert xs des Scheitels = Hochpunkts lässt sich der Ableitung g'(x) bestimmen, denn die muss dort = 0 sein:

g'(x) = -2ax + b

-2a * xs + b = 0 ; | - b ; | : (-2a) ≠ 0

xs = -b / (-2a) = b / (2a)

. . .

Zahlen einsetzen:

xs = (2 / 5) / (2 / 250) =

(2 / 5) * (250 / 2) =

2 kürzen:

(1 / 5) * (250 / 1 ) =

5 kürzen:

(1 / 1) * (50 / 1 ) = 50

. .

xs in (1) einsetzen, um den y-Wert ys des Hochpunkts herauszubekommen:

ys = g(xs) = xs ( - a * xs + b) =

xs ( - a * b / (2a) + b) =

  • a kürzen

xs ( - b / 2 + b) =

  • auf einen Nenner schreiben und zusammenfassen:

xs ( - b / 2 + 2 b / 2 ) =

xs ( - b + 2 b ) / 2 =

xs b / 2

. . .

Zahlen einsetzen:

ys = 50 * (1/250) / 2 =

  • 50 kürzen

(1 / 50) / 2 = 1/100


Um den Aufschlagwinkel zu bestimmen, setzt du die Aufschlagstelle

x = b/a

aus (2) in die Ableitung g'(x) ein. Das ergibt den Tangens des Aufschlagwinkels α, und mit dem kannst du α bestimmen:

tan(α) = -2a ( b/ a) + b =

  • kürzen

-2b + b = b

. . .

Zahlen einsetzen:

tan(α) = 2/5

α = arctan (2/5) = 21,8°

Die Arcustangensfunktion arctan heißt auf Taschenrechnern "tan hoch -1".

Es gibt noch weitere Winkel, die den gleichen Tangens haben und die Gleichung "tan(α) = 2/5" lösen, aber jene Winkel sind keine Lösung dieser Aufgabe.

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Kommentar von psychironiker
14.06.2014, 18:46

Fehler: Ich setzte die falsche Zahl für den y-Wert des Scheitels ein. Richtig ist:

ys = 50 * (2/5) / 2 =

50 * 2 / (5 * 2) =

  • 2 kürzen

50 / 5 = 10

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Hallo !

Für die Berechnung des Hochpunktes benötigst du die 1. Ableitung und 2. Ableitung -->

g(x)= -1 / 250 * x ^ 2 + 0.4 * x

g´(x) = -2 / 250 * x + 0.4

g´´(x) = - 2/ 250

Nun bestimmst du die Nullstelle der 1. Ableitung -->

-2 / 250 *x + 0.4 = 0

-2 / 250 *x = -100 / 250

x = 50, g(50) = 30

Da g´´(50) < 0 handelt es sich in der Tat um einen Hochpunkt.

Was ein Aufschlagswinkel ist, dass weiß ich leider nicht, sorry !

LG Spielkamerad

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Kommentar von Spielkamerad
14.06.2014, 09:43

Verrechnet --> g(50) = 10 Sorry !

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