Mathehilfe: Lineare und quadratische Funktionen!

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5 Antworten

Zu 1) Hier handelt es sich einfach um eine um 0,5 Einheiten in y-Richtung (nach oben) verschobene Normalparabel. Wenn du eine Normalparabel zeichnen kannst, dann addiere zu jedem ihrer y-Werte einfach 0,5 Einheiten hinzu.

Zu 2) Der gegebene Funktionsterm wird in die Scheitelpunktform

f ( x ) = a * ( x - xs ) ² + ys

überführt. Das geht so:

f ( x ) = - 3 x ² + 6 x + 9

[Zunächst klammert man den Koeffizienten - 3 des quadratischen Gliedes aus. Das ist wichtig, damit innerhalb der Klammer der Koeffizient des quadratischen Gliedes zu 1 wird (Achtung, auf die Vorzeichen achten!):]

= - 3 * ( x ² - 2 x - 3 )

[Jetzt kommt die Stelle, die du mit "+1 einfügt,und dann -1 ebenfalls hinzufügt" beschrieben hast. Tatsächllich wird nicht in jedem Falle + 1 eingefügt, sondern es wird immer die "quadratische Ergänzung" hinzugefügt. Die quadratische Ergänzung ist der Term, der zu dem quadratischen Glied ( hier: x ² ) und dem linearen Glied ( hier: - 2 x ) hinzugefügt werden muss, damit man auf diese drei Terme eine der beiden ersten binomischen Formeln "rückwärts" anwenden kann. Die quadratische Ergänzung qE ergibt sich, indem man das lineare Glied durch das Doppelte der Wurzel des quadratischen Gliedes ( hier also durch 2 * Wurzel ( x ² ) = 2 x ) dividiert und das Ergebnis quadriert:

qE = ( - 2 x / ( 2 * Wurzel ( x ² ) ) ) ² = ( - 2 x / ( 2 x ) ) ² = ( - 1 ) ² = 1

Da das quadratische Glied durch das Ausklammern seines Koeffizienten im ersten Schritt immer x ² ist, ist das Doppelte der Wurzel des quadratischen Gliedes immer gleich 2 x. Du kannst daher bei jeder Umformung einer quadratischen Form, deren quadratisches Glied x ² ist, das lineare Glied einfach durch 2 x dividieren und das Ergebnis quadrieren, um die quadratische Ergänzug zu erhalten. (Wäre der Koeffizient vor dem quadratischen Glied ungleich 1, dann müsstest du auch aus ihm die Wurzel ziehen und mitverdoppeln, was das Ganze schwieriger werden ließe, weil unübersichtlicher und mit mehr Rechenaufwand verbunden. Deshalb wurde im ersten Schritt dieser Koeffizient ausgeklammert.)

So, nun weiter: Die quadratische Ergänzung ist vorliegend also gleich 1. Diese wird nun zu dem Term in der Klammer addiert. Damit sich der Wert des Terms dadurch aber insgesamt nicht verändert, muss sie auch gleich wieder subtrahiert werden. Man erhält also:]

= - 3 * ( x ² - 2 x + 1 - 1 - 3 )

[Nun kann man die ersten drei Summanden innerhalb der Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:]

= - 3 * ( ( x - 1 ) ² - 1 - 3 )

[Die beiden letzten Summanden rechnet man zusammen:]

= - 3 * ( ( x - 1 ) ² - 4 )

[Nun multipliziert man den Faktor - 3 wieder in die äußere Klammer hinein:]

= - 3 * ( x - 1 ) ² + ( - 3 ) * ( - 4 )

[und fasst zusammen:]

= - 3 * ( x - 1 ) ² + 12

Das ist nun die Scheitelpunktform des ursprünglichen quadratischen Terms. Aus ihr kann man den Scheitelpunkt S ( xs | ys ) und den Streckfaktor a direkt ablesen:

S ( xs | ys ) = S ( 1 | 12 )

a = - 3

.

Da der Streckfaktor a negativ ist, handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Und da der Betrag des Streckfaktors größer als 1 ist, handelt es sich um eine gegenüber der Normalparabel gestreckte Parabel: Ihre Äste verlaufen steiler als die der Normalparabel, sie ist daher schmaler.

Zur ersten Aufgabe: parabel ohne Wertetabelle

Hierbei handelt es sich um eine Normalparabel also ax² für a=1 -> x², die um 0,5 nach oben verschoben ist. bei der Normalparabel geht man vom scheitel eins nach recht eins nach oben, zum nächsten punkt geht man vonm scheitel 2 nach rechts und 4 nach oben, allgeein x nach rechts/lins und x² nach oben.

der scheidel bei einer Normalparabel die um 0,5 nach oben geschoben ist, 0,5. ist der scheitel unterhalb der x-achse, rechnet man die nullstellen aus und nimmt die mitte zwischen diesen beiden, das ist der scheitelstelle dann in die gleichung einsetzen und den y wert ausrechnen.

2.) Öffnung: hierbei musst du den ersten teil der gleichung anschauen. -3x², allgemein ax², wenn a0, also beispielsweis +2, dann ist die parabel nach oben geöffnet.

Form, die parabel ist gestaucht, also enger als die normalparabel zusammen. das erkennt man wieder an ax², hierbei zählt nicht das vorzeichen sondern a>1 oder 0-1 oder a1, bzw a

Die x- Koordinate des Scheitelpunkts ist jener Wert von x, bei dem das quadratische Binom, also hier: (x -1)² Null wird - hier wird (x -1)² Null, wenn x = 1

Die y- Koordinate des Scheitelpunkts ist der Summand oder Subtrahend außerhalb der Klammer, hier also 12

Der Scheitelpunkt lautet also:

S = (1, 12)

Ist der Betrag des Faktors der Klammer (hier |-3| = 3 ) größer als 1, wird die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, wenn kleiner als 1 , dann gestaucht.

hier wird die Parabel also gestreckt, das heißt sie ist schmäler als die Normalparabel

f(x) = -3x^2 + 6x + 9

Da der Koeffizient bei x² negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet

Scheitelpunktform:

Koeffizient bei x² herausheben:

f(x) = -3 (x² -2x -3)

Term in der Klammer in die Form (x +/- a)² umwandeln , dabei ist a gleich dem Koeffizienten von x dividiert durch 2, und a muss außerhalb von (x +/- a)² subtrahiert werden:

f(x) = - 3 ( (x -1)² -1 -3)

f(x) = -3 (x -1)² + 12

=> Der Scheitelpunkt leigt bei x=1

........................

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@Aurel8317648

Achtung beim Vorzeichen:

genau verhält es sich so:

Term in der Klammer in die Form (x + a)² umwandeln, dabei ist a gleich dem Koeffizienten von x (hier - 2) dividiert durch 2, und der Betrag von a muss außerhalb von (x + a)² subtrahiert werden:

hier ist a also gleich minus eins: a = -1 =>

(x + a)² = (x - 1)²

Subtrahiert werden muss der Betrag von a, hier also | -1 | = 1

......

f(x) = - 3 ( (x -1)² -1 -3)

f(x) = -3 (x -1)² + 12

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1.Parabeln ohne Wertetabelle zeichnen:

f(x) = x^2 + 0.5

x = 0 setzen ergibt Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy = 0,5

Scheitelpunkt:

f(x) = (x -0) ^2 + 0.5 =>

S = (0 / 0,5)

Koeffizient bei x² ist positiv => Parabel nach oben offen

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