Mathehausaufgabe Algebra/ Gleichungen?

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5 Antworten

wenn du nach a oder b aufgelöst hast, kannst du einfach den einen wert frei wählen und dann den fehlenden berechnen.

nach einigen minuten angestrengten rechnens kam ich allerdings zu dem ernüchterndem ergebniss, dass die aufgabe, finde ich, nicht lösbar ist..

vielleicht hast du ja mehr glück und findest noch eine lösung ^^

AUFGABE 1:

(1 / a ) + ( a / b ) + ( 1 / ( ab ) ) = 1

<=> ( b / ( a b ) ) + ( a ² / ( a b ) ) + ( 1 / ( a b ) = 1

<=> b + a ² + 1 = a b

<=> a ² + 1 = a b - b

<=> a ² + 1 = b ( a - 1 )

<=> ( a ² + 1 ) / ( a - 1 ) = b

( a ² + 1 ) / ( a - 1 ) soll eine natürliche Zahl sein, also Polynomdivision:

( a ² + 1 ) : ( a - 1 ) = a + 1 + 2 / ( a - 1 )

.

a + 1 + 2 / ( a - 1 )

ist jedoch nur dann eine natürliche Zahl, wenn

2 / ( a - 1 )

eine natürliche Zahl ist und das ist nur der Fall für:

a -1 = 1 oder a - 1 = 2

also für a = 2 oder a = 3

a kann also nur die Werte 2 und 3 annehmen. In beiden Fällen ergibt sich für b der Wert

b = 5

.

AUFGABE 2:

Die Summe von sieben aufeinander folgenden Zahlen, beginnend mit der Zahl r ist:

r + ( r + 1 ) + ( r + 2 ) + ... + ( r + 6 ) = 7 r + 21

Die Summe von acht aufeinander folgenden Zahlen, beginnend mit der Zahl s ist:

s + ( s + 1 ) + ( s + 2 ) + ... + ( s + 7 ) = 8 s + 28

Die Summe von neun aufeinander folgenden Zahlen, beginnend mit der Zahl t ist:

t + ( t + 1 ) + ( t + 2 ) + ... + ( t + 8 ) = 9 t + 36

Es soll gelten:

7 r + 21 = 8 s + 28 = 9 t + 36

.

7 r + 21 = 8 s + 28

<=> 7 r = 8 s + 7

<=> r = 8 * ( s / 7 ) + 1

Damit r eine natürliche Zahl sein kann, muss auch 8 * ( s / 7 ) eine natürliche Zahl sein, es muss also gelten:

8 * ( s / 7 ) = 1, 2, 3, ...

und das ist dann der Fall, wenn

s = 7, 14 , 21 , 28 , ... also ein Vielfaches von 7 ist.

Setzt man dies sukzessive in

r = 8 * ( s / 7 ) + 1

ein erhält man:

r = 9, 17, 25, 33, ...

Es soll nun aber auch gelten:

8 s + 28 = 9 t + 36

<=> 8 s - 8 = 9 t

<=> 8 ( s - 1 ) / 9 = t

Damit nun auch t eine natürliche Zahl ist, muss auch ( s - 1 ) / 9 eine natürliche Zahl sein. Das aber bedeutet, dass s - 1 ein Vielfaches von 9 sein muss. Betrachtet man die möglichen Werte von s (das waren ja alles Vielfache von 7 ) findet man, dass die kleinste Zahl s, für die gilt, dass ( s - 1 ) ein Vielfaches von 9 ist, die Zahl

s = 28

ist ( s - 1 = 27 = 3 * 9 )

Mit s = 28 aber gilt:

t = 8 ( s - 1 ) / 9 = 24

und

r = 8 * ( s / 7 ) + 1 = 33

.

Damit ist die gesuchte Zahl:

Zahl = 7 r + 21 = 8 s + 28 = 9 t + 36

= 7 * 33 + 21 = 8 * 28 + 28 = 9 * 24 + 36

= 252

.

AUFGABE 3: (mach ich dann vielleicht morgen (jetzt muss ich ins Bett), wenn sie bis dahin niemand anderes gelöst hat.)

1/a + a/b + 1/ab = 1 (Gemeinsamer Nenner machen)

b/ab + a²/ab + 1/ab = ab/ab

(b + a² + 1) / ab = ab/ab | *ab

b + a² + 1 = ab | -ab

b + a² + 1 - ab = 0 | -a² -1

b - ab = -a² - 1 | *(-1)

-b + ab = a² + 1

ab - b = a² + 1

b(a - 1) = a² + 1 |: (a - 1) [also a muß ungleich 1] sein]

b = (a² + 1) / (a - 1)

b = (a² - 1 - 2 ) / (a - 1)

b = (a² - 1) / (a - 1) + 2 / (a - 1)

b = (a - 1) * (a + 1) / (a - 1) + 2 / (a -1)

b = a + 1 + 2 / (a - 1)

Hier ist ersichtlich daß b nur dann eine natürliche Zahl ist wenn :

a -1 = 1 ist => a = 2

oder

a - 1 = 2 => a = 3

Also gibt es nur die Lösungen:

**a =2 => b = 5

a = 3 => b = 5**

1) Nach a auflösen, dann hast du das Verhälniss von a zu b.

DieFrage10 12.10.2011, 21:10

und wie finde ich dann die Lösungsmenge heraus?

0

Na du bist ja ganz schlau. Wir wissen doch beide, woher die Aufgaben stammen.

Kriegt etwa jeder von euch in der Klasse eine 1 in Mathe, wenn man daran teilnimmt?

Für mich ist das Verrat an der Mathematik.

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