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1 Antwort

Hallo, ich versuche dir jetzt einfach mal bei der 1. Aufgabe (Kern / Untervektorraum) etwas weiterzuhelfen, da du sonst noch keine Antworten bekommen hast. Ich weiss aber nicht auf welche Weise ihr das „zeigen“ sollt…

Zunächst musst du wissen, welche Bedingungen ein Raum erfüllen muss, um ein Untervektorraum (UVR) zu sein:

Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition (wenn du zwei Vektoren des UVRs addierst, muss dieser auch im UVR sein).

Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation (wenn du ein Vektor des UVRs mit einer Zahl multiplizierst, muss dieser auch im UVR sein).

Ein UVR darf nicht leer sein (mindestens der Nullvektor muss enthalten sein).

Aus diesen Bedingungen lässt sich ableiten, dass jede(r) Gerade / Ebene / Raum durch den Ursprung ein Untervektorraum bildet und auch der Ursprung für sich bildet ein UVR.

Z.B. die Gerade y=x ist ein UVR:
[1,1]+[2,2]=[3,3] -> ist auch auf der Gerade
[1,1]*2=[2,2] -> ist auch auf der Gerade

Nun weiss ich nicht, wie von euch erwartete wird, dass ihr „zeigt“, dass ein Kern auch ein UVR ist (ob ihr das „beweisen“ müsst oder einfach „herleiten“ könnt), aber folgendermassen könnte man es zumindest „erklären“:

Um zu „zeigen“, dass ein Kern (in R3) auch ein UVR (in R3) bildet, kannst du das Lösungsverhalten des homogenen Systems Ax=0 untersuchen (A eine Matrix, x ein Vektor, 0 der Nullvektor). Die Lösungsmenge dieses Systems entspricht ja dem Kern.

Es lässt sich erkennen, dass die Lösungsmenge entweder trivial (der Nullvektor), oder eine Gerade / Ebene / Raum … durch den Ursprung ist. Je nachdem wie viele „freie Variablen“ das System hat (eine freie Variable -> Gerade, zwei -> Ebene, …). Also ist jeder Kern ein Untervektorraum.

Du könntest natürlich auch einfach zuerst eine Basis berechnen und dann mit jeweils einem Beispiel zeigen, dass der Kern die Bedingungen eines UVRs (zumindest mit den gewählten Beispiels-Vektoren) erfüllt, damit ist dann aber auch noch lange nichts bewiesen…

Soll ich dir noch zeigen wie man eine Basis berechnet oder ist das klar?

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