Matheaufgabe zu ganzrationalen Funktionen?

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4 Antworten

Bildungsgesetz ganzrationaler Funktionen

f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-3) ...(x-xn)*a

x1,x2 ...xn sind die "reellen Nullstellen " der Funktion (Schnittpunkte mit der x-Achse. Dar Faktor a ist meistens a=1 .man multipliziert also nur die Gleichung.

Beispiel : f(x)=a3*x³+a2*x²*a1*x+ao abgeleitet

f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1 dies ist eine Parabel und kann nur 2 "reeelle nullstellen" haben,also nur 2 Extrema (Buckel)

noch mal abgeleitet

f´´(x)=6*a3*x +2*a2 ist eine Gerade hat nur 1 "reelle Nullstelle" ,also nur 1 Wendepunkt

also Anzahl der Wendepunkte maximal n-2

Anzahl der Extrema n-1

HINWEIS: Die Parabel kann auch keine "reellen Nullstellen" haben,wenn diese ganz oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "quadratische Funktion" und auch die "Lösbarkeitsregeln" dazu.

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Bei einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades kann es max. n Nullstellen geben.

Die Ableitung ist eine Funktion (n-1)-ten Grades. Für die Extrema werden die Nullstellen der 1. Ableitung genommen, daher gibt es max. n-1 Extrema.

Die Wendestellen werden mit der 2. Ableitung berechnet. (n-2)-ten Grades

Also max. n-2 Wendestellen.

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Na, wenn eine Kurve 3 Nullstellen hat, also 3 mal die x-Achse schneidet, wie muss sie wohl aussehen?

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Was sind denn Extremstellen und Wendestellen? Oder anders ausgedrückt, wodurch zeichnen sie sich aus?

Du weißt doch, an Extremstellen (also an Hoch- oder Tiefpunkten) ist die Steigung einer Funktion stest Null.

Was beschreibt die Steigung ihrer Funktion? Ihre Ableitung!

Das bedeutet, Extremstellen sind nichts anderes als Nullstellen der ersten Ableitung.

Das gleiche gilt für Wendestellen und die zweite Ableitung.

(jetzt mal grob gesagt)

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