Matheaufgabe, weiß Lösung, aber nicht den Rechenweg?

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3 Antworten

fk(x)  = x (x² + (k-1) x - k

1. Fall: x₁ = 0

2. Fall: x² + (k-1) x - k = 0          p = k - 1          q = -k

   x₂,₃ mit p,q-Formel (geht wie mit Zahlen)
           x₂ = 1
           x₃ = -k

Wenn k = 0 ist, gibt es eine doppelte Nullstelle,
aber bei k = -1 auch

Hübsche Aufgabe mit Kurvenschar.

f(x) = (x - x_1) ^ 2 * (x - x_2)

f(x) = (x ^ 2 - 2 * x * x_1 + x_1 ^ 2) * (x - x_2)

f(x) = x ^ 3 - 2 * x ^ 2 * x_1 + x * x_1 ^ 2 - x ^ 2 * x_2 + 2 * x * x_1 * x_ 2 -  x_1 ^ 2 * x_2

f(x) = x ^ 3 - (2 * x_1 - x_2) * x ^ 2 + (x_1 ^ 2 + 2 * x_1 * x_2) * x - x_1 ^ 2 * x_2

Nun machst du einen Koeffizientenvergleich :

I.) 2 * x_1 - x_2 = k - 1

II.) x_1 ^ 2 + 2 * x_1 * x_2 = - k

III.) - x_1 ^ 2 * x_2 = 0

Wenn du dieses Gleichungssystem auflöst, was ich aber aus Zeitgründen nicht per Hand gemacht habe, sondern Wolfram Alpha habe erledigen lassen, dann erhältst du :

k = -1 und x_1 = -1 und x_2 = 0

oder

k = 0 und x_1 = 0 und x_2 = 1

https://goo.gl/RxQvMk

Bedeutet entweder :

f(x) = x ^ 3 + (-1 - 1) * x ^ 2 - (-1) * x = x ^ 3 - 2 * x ^ 2 + x

oder

f(x) = x ^ 3 + (0 - 1) * x ^ 2 - 0 * x = x ^ 3 - x ^ 2

Beide Funktionen haben jeweils eine doppelte Nullstelle.

f(x) = x ^ 3 - 2 * x ^ 2 + x bei x = 1

und

f(x) = x ^ 3 - x ^ 2 bei x = 0

Ausklammern bringt Dich hier auf den richtigen Weg:

f(x) = x³ + (k - 1)x² - kx
      = x(x² + (k - 1)x - k)

→ Mit der Annahme, dass x = 0 eine einfache Nullstelle ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

x² + (k - 1)x - k = 0

Jetzt überlegen: Was muss der Fall sein, damit eine quadratische Funktion nur eine Nullstelle hat? Richtig, die Diskriminante muss null sein.

Also heißt es Diskriminante null setzen.

Für ax² + bx + c ist D = b² - 4ac

Also gilt bei x² + (k - 1)x - k:

D = (k - 1)² - 4⋅1⋅(-k) = 0

(k - 1)² + 4k = 0
k² - 2k + 1 + 4k = 0
k² + 2k + 1 = 0
k = -1

→ Um die oben getroffene Annahme wieder aufzugreifen: Für das eben gerechnete haben wir angenommen, dass x = 0 eine einfache Nullstelle ist. Aber da wir diese Annahme getroffen haben, müssen wir auch den Fall betrachten, in dem diese Annahme nicht gilt - also wenn bei x = 0 eine doppelte Nullstelle liegt.

Dafür berechnen wir erstmal allgemein die Nullstellen der Funktion:

x³ + (k - 1)x² - kx = 0
x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -k

Wir haben drei Nullstellen - eine ist abhängig von k. Und da wir wollen, dass bei x = 0 die doppelte Nullstelle liegt, muss -k auch 0 ergeben, damit zwei Nullstellen bei x = 0 und eine Nullstelle bei x = 1 liegt.

Also: -k = 0 k = 0

Und damit haben wir die beiden Lösungen für k - entweder ist k = -1 oder k = 0.

LG Willibergi

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