Matheaufgabe viel zu schwer, bitte hilfe?

7 Antworten

Die Normalparabel lautet y=x^2. 2 nach rechts und 4 nach unten verschoben lautet sie eben y=(x-2)^2-4.

Die allgemeine Geradengleichung (Tangente = Gerade) lautet y=mx+c. Du hast mit m und c zwei Unbekannte, brauchst also 2 Bestimmungsgleichungen. Gerade geht durch A(5/1), also

1 = 5m + c => c = 1-5m

Zweite Bedingung. Die Gerade bildet eine Tangente mit der Parabel y=(x-2)^2-4. Was bedeutet das? Na, dass es eben (mindestens) einen Punkt geben muss, in dem die beiden Gleichungen und auch die Ableitungen der Gleichungen übereinstimmen müssen (Tangente im Punkt bedeutet, dass die Ableitung der Geraden in diesem Punkt gleich der Ableitung der zu nähernden Funktion ist).

y=(x-2)^2-4 => y'=2(x-2)=2x-4 (Parabel)

y=mx + (1-5m) => y'=m (Gerade)

Gleichsetzen: 2x-4 = m und (x-2)^2-4=mx + (1-5m)

Wir suchen noch immer m für die Geradengleichung.

(x-2)^2-4=(2x-4)x + (1-10x+20)

x^2-4x+4-4=2x^2-4x +21 - 10x

<=> x^2 - 10x + 21= 0 => x1=3, x2=7

=> m = 2x-4, m1=2, m2= 10 => y1=2*3 + (1-10)= -3, y2=70-49=21

Tangentenpunkte (3/-3), (7/21), y1=2x-9, y2=10x-49

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D(x-2)%5E2-4,+y%3D2x-9,+y%3D10x-49

So sehen die Geraden mit der Parabel aus. Die Schnittpunkte der Geraden mit der y-Achse liegen bei y1=-9 und y2=-49. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei

0=2x1-9 => x1 =9/2, 0=10x-49 => x2 = 49/10

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D2x-9,+y%3D10x-49

Wenn man sich die Geradenverläufe anguckt kommt bei jeder Tangente nur eine geschlossene Fläche (Dreiecksfläche) in Frage, alle anderen sind offen und wären deswegen unbegrenzt.

Beide Rechtecke müssen also im Punkt (0/0) starten und gehen dann nach rechts unten. Der rechte, untere Rechteckspunkt muss auf der Tangente liegen.

Für Tangente 1: y1=2x1-9 ergibt sich das Rechteck (0/0), (x1/0),(0/y1),(x1/y1)

Flächeinhalt lautet daher (x1-0)*(y1-0)= A = x1*y1. Dieser soll maximal sein. Wir ersetzen y1 mit der Tangentegleichung und erhalten A = x1*(2x1-9) = 2(x1)^2-9(x1)

Wir variieren nun x1 um das Maximum von A(x1) zu bestimmen => dA/dx1 = 4(x1)-9 = 0 => 4x1 = 9 => x1 = 9/4 => y1 = 9/2-9 = -9/2

=> maximale Fläche für Rechteck bei Tangente 1 => |A| = (9/4)*(9/2)=81/8 = 10,125

Für Tangente 2 analog: y1 = 10x1-49 => A = x1*y1 = x1(10x1-49) = 10(x1)^2-49x1

dA/dx1 = 20(x1)-49 = 0 => x1=49/20 => y1 = 49/2-49 = -49/2

=> |A| = 24,5

Für die zweite Tangente ergibt sich also ein größerer Flächeninhalt und deswegen sollte das größtmögliche Rechteck eine Flächeninhalt von 24,5 haben.

Im groben sollte die Rechnung stimmen. Keine Garantie für Flüchtigkeitsfehler.

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Bei der zweiten Fläche ist ein Fehler drinnen. |A|=x1*y1=(49/20)*(49/2) = 60,025. Das maximale Rechteck verläuft also von (0/0) nach (2,45/-24,5) und hat einen Flächeninhalt von 60,025.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D10x-49,+x%3D2.45,+y%3D-24.5

Sieht dann so aus.

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ich danke Ihnen. sie haben es sehr gut erklärt. vielen vielen dank, ich bin beeindruckt.

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Scheitelpunktform y=f(x)=a*(x-xs)²+ys hier xs=2 und ys=-4 Normalparabel a=1

y=f(x)=1*(x-2)²-4 abgeleitet f´(x)=2*(x-2)=2*x-4

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt

Kapitel Differentialgeometrie

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo ist die die Stelle,wo die Tangente f(x)=.. berührt

Tangente ist eine Gerade der Form y=f(x)=m*x+b

mit P(5/1) ergibt 1=m*5+b

yt=ft(x)=f´(xo)*5-f´(xo)*xo+f(xo)

yt=1=(2*xo-4)*5-(2*xo-4)*xo+(xo-2)²-4

yt=1=10*xo-20-2*xo²+4+4*xo+xo²-4*xo+4-4

yt=1=-1*xo²+10*xo-20

0=-1*xo²+10*xo-21

nullstellen mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)

xo1=3 und xo2=7

Hab gerade gesehen,das ist die yt=1 vergessen habe

den Rest hier nochmal nachrechnen!!!

eingesetzt

yt=ft(x)=(2*2,7639-4)*(x-2,7639)+((2,7639-2)²-4))

yt=ft(x)=1,5278*x-7,639

nun eine Zeichnung machen und die Graphen f(x)=1*(x-2)²-4 und yt=1,5*x-7,63

einzeichnen

Aus der Zeichnung entnehmen wir

Rechteckfläche A=a*b mit a=x und b=Betrag(yt)

A=Betrag(yt)+f(x)=-yt+f(x)

A(x)=-(1,527*x-7,639)+1*(x-2)²-4))*x

nun ausmultipliziern und eine Kurvendiskussion durchführen

A(x)=...... abgeleitet

A´(x)=0=..... Nullstellen ermitteln

noch mal ableiten,um zu prüfen,ob Maximum oder Minimum

A´´(x)=....

Zum Schluß eine Proberechnung mit Zaheln durchführen,ob auch alles fehlerfrei

ist

prüfe auf Rechen- und Tippfehler.

Also wie du siehst, beißen sich an dieser Aufgabe sogar die Experten teilweise die Zähne aus.

Die richtige Lösung findest du aber auf jeden Fall bei mrmeeseeks8 incl. seiner Korrektur.

Mit der zweiten Geraden mit der Gleichung:

y = 10x - 49 erhälst du das maximale Quadrat zwischen Ursprung und Punkt (2,45/-24,5) mit A = 60,025

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