Könnt ihr mir bei der Matheaufgabe mit reelle Zahlen helfen?

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3 Antworten

Okay, wie Stekum gehe ich vom folgenden Gleichungssystem, G(x,y,z;a), aus:

  1. 2(z–1) – x = 55
  2. 4xy – 8z = 12
  3. a·(y+z) = 11

Aufgabe: Zu finden ist L = {(x,y,z,a) ∈ N x N x N x R : G()} und a* := Max{a  R : ∃x,y,zN. G(x,y,z;a)}, sollte dies existieren. Hierbei N := {0; 1; 2; …}, die Mengen der natürlichen Zahlen.


Notwendige Bedingungen: Das GS ist äquivalent zu folgendem

  1. 2z – x = 57
  2. xy – 2z = 3
  3. y+z = 11/a und a > 0 (sonst wäre l. S. ≤ 0 < 11)

Im GS gelten (1) und (2) ⟺ (1) und (1)+(2). Dh

  1. 2z – x = 57
  2. x·(y–1) = 60
  3. a = 11/(y+z)

Aus (1) folgt, dass 2 | 2z = 57+x, also muss x ungerade sein. Aus (2) folgt notwendigerweise (man betrachte alle Faktoren von 60 mit x ungerade):

(x, y–1) ∈ {(1, 60); (3, 20);
(5, 12); (15, 4)}.

Anhand (1) ergeben sich hieraus folgende Möglichkeiten:

 x   y   z=(57+x):2    y+z     xyz
----------------------------------
1 61 29 90 1769
3 21 30 51 1890
5 13 31 44 2015
15 5 36 41 2700


Hinreichende Bedingung: Alle aufgelisteten Werte erfüllen das orginal GS. Das heißt

L = {(1;61;29; 11/90);
(3;21;30; 11/51);
(5;13;31; 1/4);
(15;5;36; 11/41)}

Um a = 11/(y+z) zu maximieren, reicht es aus, den Ausdruck y+z zu minimieren, was für (x, y, z) = (15, 5, 36) gilt — mit a=11/41.

hallo, 

kannst du mir mal den Schritt erklaren wo du sagst, dass x ungerade sein muss. Das ist das Einzige, was ich an dem Lösungsweg nicht verstehe. Vielleicht könntest du den Schritt nochmal detaillierter erklären.

MfG

 

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Also, du meinst wohl diesen Schritt: „Aus (1) folgt, dass 2 | 2z = 57+x, also muss x ungerade sein.“

Hier eine andere Erklärung: aus (1) folgt x = 2z – 57. Der Ausdruck rechts ist für alle z € Z eine ungerade Zahl, da 2z = gerade und 57 = ungerade und gerade - ungerade = ungerade.

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Könntest du bitte dir die Mühe machen, und das Gleichungssystem ordentlicher / lesbarer aufschreiben? Eine Gleichung pro Zeile oder mindestens Halbkolon zwischen je zwei wäre ein Anfang.  

(1) 2z - x = 57 → x = 2z - 57

(2) xy - 2z = 3

(3) ay + az = 11 → y = 11/a - z

(1) und (3) in (2) einsetzen ergibt (2z - 57)(11/a - z) - 2z = 3

Klammer auflösen gibt eine quadr. Gl. für z.

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