Matheaufgabe Potenzreihe?

 - (Mathe, potenz, exponentialfunktion)

1 Antwort

Die Aufgabe ist mit "Potenzreihe" überschrieben. Vermutlich kann man das auch direkt aus der Potenzreihendefinition der Exponentialfunktion beweisen. Das dürften aber eklige Abschätzungen werden, da x,y auch negativ sein können und damit ein Vergleich auf Summandenebene fehlschlägt.

Typischerweise weist man nach, dass e^z auf dem Intervall [x,y] konvex ist. Das folgt daraus, dass die zweite Ableitung von e^z (nämlich wieder e^z) nur Werte größer Null annimmt. Dabei heißt eine Funktion f konvex auf dem Intervall [x,y], wenn für alle t mit 0 < t < 1 gilt:

 f( tx +(1-t)y) ) <= tf(x) +(1-t)f(y)

Für t=1/2 folgt dann direkt die Behauptung.

Wenn man den Begriff der Konvexität vermeiden will, kann man das zu Fuß nachmachen. Dazu muß man 

  • den Mittelwertsatz kennen, 
  • wissen, dass man ihn auf e^x anwenden darf, 
  • wissen, dass die Ableitung von e^x wieder e^x ist 
  • wissen, das e^x monton wachsend ist 

Das geht dann ungefähr so:

Seien x,y \in \R. ObdA. sei x < y. Wir setzen z:= 1/2(x+y). Dann gilt x < z < y. Mit dem Mittelwertsatz findet man x' mit x < x' < z und y' mit z < y' < y so, dass

        e^z - e^x                e^y - e^z
 e^x' = ---------   und   e^y' = ---------
          (z-x)                    (y-z) 

Da e^x monoton wachsend ist, folgt aus x' < y', dass e^x' < e^y' und somit

 e^z - e^x       e^y - e^z
 ---------  <=   ---------
   (z-x)           (y-z)   

Da (z-x) = 1/2(y-x) = (y-z) und positiv ist, folgt

e^z - e^x  <=  e^y - e^z   
2e^z <= e^x + e^y

Nach Einsetzen von z = 1/2(x+y) folgt die Behauptung.

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