Matheaufgabe: möglichst großer Flächeninhalt

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1 Antwort

Irgendwelche drei Möglichkeiten aussuchen und Flächeninhalt berechnen:

Such dir eine Stelle x ungleich 0. Dann ist die eine Seite des Rechtecks 4-x und die andere Seite ist f(x) = 7/16 x² +2. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist dann:

A = (4-x) * (7/16 x² + 2)

Soweit richtig.

Die p-q-Formel kannst du hier nicht anwenden, du hast eine Funktion 3. Grades (Nach dem Ausmultiplizieren solltest du A = 7/4 x² + 8 - 7/16 x³ - 2x haben). Aber das brauchst du auch überhaupt nicht. Du hast ja nicht A gegeben und willst x berechnen, sondern für a) kannst du dir irgendwelche x aussuchen und einsetzen und A berechnen.

Für b brauchst du den maximalen Flächeninhalt. Wenn du in der 11. bist, dann hattet ihr bestimmt schon Kurvendiskussionen und die Berechnung von Extremwerten, oder? Bei einem Maximum der Funktion muss die 1. Ableitung = 0 sein und die 2. Ableitung <0. Wir haben schon die Funktion des Flächeninhalts in Abhängigkeit von x, also leiten wir die mal ab:

A(x) = 7/4 x² + 8 - 7/16 x³ - 2x

A ' (x) = 7/2 x - 21/16 x² - 2

Und das muss = 0 sein, also:

.- 21/16 x² + 7/2 x - 2 = 0...................I : (-21/16)

x² - 8/3 x + 32/21 = 0

Jetzt brauchst du die p-q-Formel. ^^

x1 = 4/3 + Wurzel [ 16/9 - 32/21]

= 1,837

x2 = 4/3 - Wurzel [ 16/9 - 32/21]

= 0,829

Um zu gucken, welches davon die maximale Fläche ergibt und welches vielleicht ein Minimum oder sowas ist, müssen wir noch die 2. Ableitung bilden und die Werte da einsetzen:

A ' ' (x) = 7/2 - 21/8 x

A ' ' (1,837) = -1,323 < 0 => Maximum von A(x)

A ' ' (0,829) = 1,323 > 0 => Minimum von A(x)

Die Schnitte müssen also senkrecht bei 1,837 auf der x-Achse und waagerecht bei 7/16 * (1,837)² + 2 = 3,477 auf der y-Achse geführt werden.

novembird 15.11.2012, 17:29

Danke! Nach längerem nachdenken bin ich schließlich auch drauf gekommen, aber danke für deine ausführliche Lösung und Erklärung :)

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Hyde4 15.11.2012, 18:35
@novembird

Kein Problem. Aber selbst drauf kommen ist ja auch eigentlich noch viel besser. :)

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