Matheaufgabe Martingale (Achtung schwer!?

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3 Antworten

Sei

E(n+1) = (E(n) + ... + E(1))/P

--> E(2) = E(1)/P

--> E(3) = (E(2) + E(1))/P = E(2)/P + E(2)

--> E(4) = (E(3) + E(2) + E(1))/P = E(3)/P + (E(2) + E(1))/P

    und somit  E(4) = E(3)/P + E(3)

Dies legt nahe, dass gilt:

E(n+1) = E(n)*(1 + 1/P)

In deinem Falle lässt sich damit schreiben:

E(n+1) = E(1)*(1 + 1/p)^(n+1 - 1)

Und somit:

E(n+1) = E(1)*(1 + 1/p)^n

bzw:

E(n) = E(1)*(1 + 1/p)^(n-1)


Beweisen, dass das so ist, kann man wahrscheinliche über die vollständige Induktion machen.

densch92 16.01.2017, 15:46

Klingt mal so, als könnte es stimmen, keine Ahnung ob es so ist.

Werds einfach mal in Excel ausprobieren.

In den meisten Fällen kann  man ja davon ausgehend ass es , wenn es in den ersten 5 oder 10 GLiedern übereinstimmt, wohl auch generell stimmt.

Das man das einfach auseinander ziehen kann in mehrere brüche, hab ich echt nicht bedacht! :-D

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poseidon42 16.01.2017, 19:54

Nun der Beweis meiner Aussage mittels vollständiger Induktion:

Annahme:

E(n+1) := (E(n) + ... + E(1))/p = E(1)*(1 + 1/p)^n

Wobei   E(1) := E(1)  aus IR

Für alle n aus IN und p aus IR\{0}


IA) Induktionsanfang:

Sei nun n = 0

--> E(0 + 1) = E(1) = E(1)   nach Definition.

mit  E(1)*(1 + 1/p)^0 = E(1) 

folgt nun also, dass die Aussage für den Fall n = 0 wahr ist.


IV) Induktionsvorraussetzung:

Angenommen die Aussage sei nun für ein beliebiges n aus IN erfüllt:


IS) Induktionsschritt:    n ---> n+1

E((n+1) + 1) = E(n+2) = (E(n+1) + E(n) + ... + E(1))/p

= E(n+1)/p + (E(n) + E(n-1) + ... + E(1))/p

Nach IV) gilt:    E(n+1) = E(1)*(1 + 1/p)^n

Einsetzen liefert dann:

= E(1)*(1 + 1/p)^p *(1/p) + (E(n) + E(n-1) + ... + E(1))/p

Nach Definition folgt:

E(n+1) := (E(n) + E(n-1) + ... + E(1))/p

Einsetzen liefert dann:

= E(1)*(1 + 1/p)^p *(1/p) + E(n+1)

Nach IV) gilt wieder:  E(n+1) = E(1)*(1 + 1/p)^n

= E(1)*(1 + 1/p)^p *(1/p) + E(1)*(1 + 1/p)^n

Ausklammern von E(1)*(1 + 1/p)^n  liefert dann:

= E(1)*(1 + 1/p)^n *(1 + 1/p)

Zusammenfassen liefert uns also:

= E(1)*(1 + 1/p)^(n+1)


Es folgt also aus der Wahrheit der Aussage für ein beliebiges n aus IN:

E((n+1) + 1) = E(n+2) = E(1)*(1 + 1/p)^(n+1)

[ Aussage(n) wahr ===> Aussage(n+1) ist wahr]
wobei dies unserer Annahme entspricht. Somit folgt also aus der Wahrheit der Aussage für n = 0 aus dem IA) die Wahrheit des Nachfolgers für n = 1 usw. . Somit ist die Aussage für alle n > -1, mit n aus IN, nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen.


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Rhenane 16.01.2017, 23:38

E(n+1)=E(n) * (1+1/p) ist ja noch korrekt.
Die Folgerung daraus, dass dann E(n+1)=E(1) * (1+1/p)^(n+1 -1) ist, stimmt aber nicht mehr. Da musst Du irgendwie einen Denkfehler gemacht haben.
Siehst Du schon, wenn Du Dir E(2) anschaust, also n=1 einsetzt:
E(1+1)=E(1)*(1+1/p)^(1+1 -1) = E(1)*(1+1/p) = E(1) + E(1)/p.
Es muss aber E(2)=E(1)/p rauskommen.

(Beweisführung ist nicht so meine Stärke (mein Respekt dafür!); bin eher der Praktiker und habe unsere Ergebnisse mit einer Tabellenkalkulation übergeprüft und bin so erst auf die Differenzen gestoßen)

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poseidon42 17.01.2017, 00:05
@Rhenane

Erstmal danke für die Korrektur !!!

Ich schaue mir morgen mal an was genau falsch gelaufen ist und korriegiere mich dann ^^

Einen schönen Abend dann noch.

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ich komme auf folgendes:
E1=x
E2=x/p
E3=(x+x/p)/p= x/p+x/p² = x/p * (1+1/p)
E4=(x+x/p+x/p+x/p²)/p = (x+2x/p+x/p²)/p = x/p (1+2/p+1/p²) = x/p (1+1/p)²
E5=(x+x/p+x/p+x/p²+x/p+2x/p²+x/p³)/p = (x+3x/p+3x/p²+x/p³)/p
    = x/p (1+3/p+3/p²+1/p³) = x/p (1+1/p)³

Folgerung:
En= x/p (1+1/p)^(n-2)

densch92 16.01.2017, 17:03

hoch n oder hoch n-2.
Nur das Excel Sheet vermag die Wahrheit zu offenbaren :-)

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Rhenane 16.01.2017, 23:23
@densch92

bei mir passts: E1=10; p=80%
=>
E2=12,5
E3=28,125
E4=63,28125
E5=142,3828125
...

bei poseidon42 sind die Einsätze exakt um die bereits getätigten Einsätze höher...
also
E2_pos42=E2+E1=22,5
E3_pos42=E3+E2+E1=50,625
E4_pos42=E4+E3+E2+E1=113,90625

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Ist tatsächlich genau die selbe Formel wie bei deinem ersten Beispiel, nur dass du statt der 2 eine 1/0,8 hast.

densch92 16.01.2017, 15:21

Ich weiß nicht, z.B. E_3 ist doch aber

E_3=(E_1+E_2)/0,8=(E_1+(E_1/0,8))/0,8=E_1*((1,8/0,8)/0,8
=E_1*((1,8*0,8)/0,8)=E_1*1,8
was nicht das Selbe ist wie (1/0,8)^2*E_1 , oder? O_o

Dachte anfangs auch, das wärs mit 1/0,8.
Aber als ichs mit Excelsheet ausprobiert hab, fiel es mir auf dass das zu wenig ist.

Und über den Ansatz:
0,8*E_n>=Summe aller vorherigen Einsätze

(wobei links einfach nur der durch E_3 erwartschaftete Profit steht und
rechts die vorherigen verluste insgesamt)

kam ich dann auf den Term mit den Summen/0,8 als Mindestbedingung um Verluste zumindern abzufedern.

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iokii 16.01.2017, 15:38
@densch92

Ist mir auch gerade aufgefallen. Vielleicht siehst du ja mehr, wenn du E_3=(E_1+E_2)/0,8=E_1 * 1/0,8+ E_1 * (1/0,8)^2. Dann ist E1+E2+E3=E1+E1 * 1/0.8+E1 * 1/0.8 + E1 * (1/0.8)^2=E1+2 * E1 * (1/0.8) + E1 * (1/0.8)^2. Wenn du das für E4 auch noch machst, erkennst du vielleicht ein Muster, wie oft welche Potenzen auftreten.

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