Matheaufgabe für mich unlösbar....für dich?

...komplette Frage anzeigen Die Aufgabe b mit Abbildung - (Schule, Mathematik, Intelligenz)

8 Antworten

Hallo,

teile das Quadrat in vier gleich große Quadrate auf.

Kantenlänge eines kleinen Quadrats gleich Radius des kleinen Kreises gleich a.

Diagonale eines kleinen Quadrats gleich Radius des großen Kreises gleich

Wurzel (2) mal a.

Der Radius des großen Kreises ist also Wurzel (2) mal der Radius des kleinen Kreises.

Da sich Kreisflächen über das Quadrat des Radius berechnen, verhält sich der große zum kleinen Kreis wie 2a² zu a², hat also eine doppelt so große Fläche. (Pi kürzt sich wie r² raus).

Die kleine Kreisfläche hat also 50 % der großen Fläche.

Herzliche Grüße,

Willy

Aragorn1110 09.07.2017, 09:50

Danke, nur noch eine Frage: Woran legst du fest, dass Die Diagonale eines kleinen Quadrats Wurzel (2) * a ist?

Das verstehe ich noch nicht so ganz

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Willy1729 09.07.2017, 09:52
@Aragorn1110

Pythagoras.

Zwei Seiten eines Quadrates bilden zusammen mit der Diagonale ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.

Seite=a=Kathete

Hypotenuse=Diagonale=Wurzel aus (a²+a²)=Wurzel aus (2a²)

a² kannst Du aus der Wurzel herausziehen und bekommst so als Maß für die Diagonale a*Wurzel (2)

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Willy1729 18.07.2017, 17:42

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Du sollst ja den äußeren Kreis am inneren messen. Also ist der innere Kreis der Maßstab. Dazu würde ich den Radius des inneren Kreises mit r bezeichnen.

Skizze machen! Radius des inneren Kreises und des äußeren Kreises einzeichnen. Mach Dich auf die Suche nac einer Beziehung dieser beiden Größen. (Tipp: Dabei müsstest Du auf den Satz des Pythagoras stoßen).

Nun beide Flächeninhalt ausrechnen (in Abhängigkeit von r) und anschließend ins Verhältnis setzen. Dann kommt ein bestimmter Wert heraus, den Du als Prozentsatz (müsste über 100 % sein!) interpretierst.

Nun weißt Du, um wieviel der äußere Kreis größer ist.

Zwieferl 08.07.2017, 16:08

Zitat: "...(müsste über 100 % sein!)..." → es sind genau 200%, also ist große Kreis um exakt 100%  größer als der kleine!

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Hey, man rechnet die Aufgabe mithilfe des Satz des Pythagoras aus.

Wir rechnen jetzt mal zur veranschaulichung mit richtigen Werten.

Nehmen wir mal an, der kleine Kreis, ist der Einheitskreis.
Das heißt, der Radius ist 1.

Wenn der Radius vom kleinen Kreis 1 ist, dann der Durchmesser 2, auf dem Bild erkennt man gut, dass die Seitenlängen des Würfels mit dem Durchmesser identisch sind.

Also haben wir auch die Maße des Würfels raus, er ist 2 × 2 groß.

Die Strecke von der Ecke unten links bis zur Ecke oben rechts, ist gleichzeitig der Durchmesser des großen Kreises, sieht man auch gut.

Diese Strecke kann man mithilfe des Satz des Pythagoras rausfinden.

2² + 2² = 8 = | = der Durchmesser beträgt Wurzel(8).

Wenn der Durchmesser Wurzel(8) beträgt beträgt der Radius (Wurzel(8)/2).

Das in die Formel einsetzen r²*pi und wir kriegen ein Ergebnis raus.

Um raus zu finden wieviel Prozent das großer ist als das andere, einfach die Ergebnisse durcheinander teilen und dann mal 100%

Wenn a die Kantenlänge des Quadrats ist, hat der innere Kreis den Durchmesser a und der äußere den Durchmesser Wurzel (2)*a.

Jetzt kannst du den Flächeninhalt der beiden Kreise ausrechnen und ins Verhältnis setzen. a kürzt sich dabei heraus.

Die Diagonale des Quadrats ist der Durchmesser des (äußeren) Umkreises, ein Seite der des inneren Kreises.

Über den Satz des Pythagoras setzt die Durchmesser oder Radien ins Verhältnis.

Quadrat:

a^2 + a^2 = d^2
mit a = 2 ri und d = 2 ra

=> 2 (2 ri)^2 = (2 ra)^2

Das stellst nach ri oder ra um und berechnest daraus die Kreisflächen.

R = a/2  • wurzel 2

r = a/2

jetzt Kreisflächen berechnen;

Dreisatz

Lösbar. Und einfach.

Wie lautet dein Lösungsansatz bis jetzt?

Um das Verhältnis Kantenlänge / Diagonale des Quadrats.

clemensw 08.07.2017, 12:05

Leider falsch. Wie war die Formel für die Kreisfläche gleich wieder?

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Gehilfling 08.07.2017, 12:11
@clemensw

Vielleicht einfach unklar ausgedrückt.

Der innere Kreis hat den Radius der halben Kantenlänge a, der äußere den der halben Diagonale sqrt(a). Daraus ergibt sich die Kreisflächen für beide mit A = r² x pi und das Verhältnis A1/A2. Grundlage von beiden ist aber das Verhältnis der Kreise zum Quadrat, auch wenn sich die Kantenlänge wegkürzt - der Faktor bleibt ja erhalten.

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clemensw 08.07.2017, 12:28
@Gehilfling

Sorry, aber immer noch daneben.

Der innere Kreis hat den Radius der halben Kantenlänge

Nennen, wir den inneren Radius "r", dann gilt also r = a/2

der äußere den der halben Diagonale sqrt(a)

Fehler #1: Der äußere Radius sei "R", dann ist R nicht √a, sondern 

R = a/√2

Und damit lassen sich die beiden Kreisgleichungen aufstellen:

A1 = r² * π = (a/2)² * π = a²/4 * π

A2 = R² * π = (a/√2)² * π = a²/2 * π

Fehler #2: Bilden wir nun das Verhältnis A2/A1

A2/A1 = (a²/2 * π) / (a²/4 * π) = (1/2) / (1/4) = 2

und nicht - wie von dir behauptet - √2/1

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