Wie berechnet man das Volumen eines Kreiszylinders?

4 Antworten

Die Figur ist drehsymmetrisch um die Kegelachse.

Du kannst ein Schnittbild anfertigen, in dem die Kegelachse auf der y-Achse liegt. Da keine Symmetrie in der Richtung der Kegelachse vorliegt, zeichnest du auf die x-Achse am besten das Bild der Kegelbasis.

Punkte mit negativen x-Werten kannst du wegen der Symmetrie weglassen.

Aus dem Mantel des Kegels wird eine Strecke, deren Enden auf den Koordinatenachsen liegen. Diese Strecke ist Teil einer Geraden, für die du die Geradengleichung aufstellen kannst.

Das Bild eines einbeschriebenen Kreiszylinders ist in diesem Bild ein Rechteck, dessen eine Ecke im Ursprung liegt, zwei seiner Seiten auf den Koordinatenachsen liegen und ein Punkt auf der Strecke liegt, die den Kegelmantel darstellt. Damit gibt die Funktionsgleichung dieser Strecke das Verhältnis zwischen Radius und Höhe des Zylinders an.

Hallo,

Du könntest auch nach dem Strahlensatz vorgehen.

Wegen der Symmetrie des Kegels brauchst Du eigentlich nur ein rechtwinkliges Dreieck mit h=10 und x als Kathete, dem ein Rechteck eingeschrieben ist mit r (dem Radius des Zylinders) und y ( der Höhe des Zylinders).

Nun gilt:

10/x=y/(x-r), also:

y=[10*(x-r)]/x

Das Kegelvolumen berechnet sich aus π*r²*y.

Wenn Du nun y durch den oben genannten Ausdruck ersetzt, erhältst Du:

V=π*r²*{[10*(x-r)]/x}

Wenn der Radius des Kegel beispielsweise gleich 5 cm ist und der Radius des Zylinders gleich 3 cm, ist das Volumen des Zylinders gleich

π*9*(20/5)=36*π*~113,1 cm³.

Dies können wir nachprüfen, indem wir die Werte in die Geradengleichung für den Kegelmantel (auf der die Hypotenuse unseres Dreiecks liegt) eingeben.

Die Geradengleichung für x=5 lautet y=-2x+10

Wenn wir hier r=3 einsetzen, bekommen wir -6+10, also y=4.

Die Höhe des Zylinders beträgt also bei einem Kegelradius von 5 cm und einem Zylinderradius von 3 cm gleich 4 cm.

So erhalten wir als Zylindervolumen nach der allgemeinen Formel für einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe y:

V=π*3² cm²*4 cm, also π*36~113,1 cm³, genau wie in unserer Formel.

Herzliche Grüße,

Willy

lieber willy.das ist eine sehr schöne idee. aber musst du r nicht auch in abhängigkei von h bzw y setzen? 

0
@dadan3

Hallo, dadan,

Du kannst natürlich die Gleichung y=[10*(x-r)]/x nach r auflösen - aber wozu? Da weder der Radius des Kegels festgelegt ist noch der Radius des eingeschriebenen Zylinders, bringt das nicht viel.

Eine Größe bei dem Kegel mußt Du immer frei wählen. Wenn Du r von irgendetwas abhängig machst, mußt Du Dir ein y ausdenken.

Die wichtigste Größe ist x, der Radius des Kegels, weil erst dadurch r und y des Zylinders in Beziehung zu bringen sind. Du kannst durch dieses x aber nicht beide Größen festlegen, denn es gibt unendlich viele Zylinder, die einem Kegel eingeschrieben werden können.

Wenn Du y gegen Null gehen lassen würdest und in dem Zylinder Kegel auf Kegel stapeln würdest, wäre die Summe ihrer Volumina gleich dem Kegelvolumen. Hier wären wir dann im Bereich der Integralrechnung.

Jedenfalls - wie Du es auch drehst und wendest - es gibt nicht den einen Zylinder mit r und y, der als einziger dem Kegel eingeschrieben werden kann, nur dann ließen sich beide Größen von x und h abhängig machen, sondern Du kannst entweder r oder y frei wählen und dann die andere Größe in Abhängigkeit von x berechnen.

Welche Größe Du wählst, kannst Du halten wie ein Dachdecker.

Liebe Grüße,

Willy

0
@Willy1729

Eine Größe bei dem Kegel mußt Du immer frei wählen.

Es sollte heißen: Eine Größe bei dem Zylinder. Willy

0

Hi,

das Volumen in Abhängigkeit von x:

f(x) = h - h/r · x

V = pi · r^2 · (h - h/r · x) = pi·h·r^2 - pi·h·r·x


Gruß Turtok

den ansatz finde ich sehr gut. allerdings ist r aber in abhängigkeit von h zu wählen

0
@dadan3

r ist in meiner Formel nur ein Parameter und beschreibt den festen Radius des gegebenen Kreiskegels. 

X beschreibt hingegen den veränderbaren Radius des Zylinders, der ja eigentlich verantwortlich für das Zylindervolumen ist.

1
@Turtok888

ja das habe ich gesehen bei dir und an sich ist es auch richtig. allerdings war der kegelradius mit x vorgegeben :)
d.h vertauscht man x und r, so stimmt bei dir wieder alles

0

Was möchtest Du wissen?