Mathe? Wie finde ich den Polynomial heraus?

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3 Antworten

Dies ist eine einfache Steckbriefaufgabe mit 4 gegebenen Punkten.

Steckbriefaufgaben führen immer zu einen "linearenGleichungssystem" LGS , was dann gelöst werden muss (zweckmäßig mit einen GTR)

kubische Funktion f(x)= a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao

wir haben hier 4 Unbekannte a3,a2,a1 und ao

Mit den 4 gegebenen Punkten haben wir automatisch auch 4 Gleichungen

P1(-4/3) P2(-1/-2) P3(5/4) P4(3/0) 

1. a3 * (-4)^3 + a2 *(-4)^2 +a1 *(-4) + ao * 1 = 3 aus P1(-4/3)

2. a3 *(-1)^3 + a2 *(-1)^2 + a1 *(-1) + ao *1= - 2 aus P2(-1/-2)

3. a3 *5^3 +a2*5^5 +a1*5 +ao *1= 4 aus P3( 5/4)

4. a3 *3^3 +a2*3^2 +a1*3 + ao *1= 0 aus P4(3/0)

hier haben wir nun ein LGT mit 4 Unbekannte und 4 Gleichungen,was nun gelöst werden muss.

Das LGT schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,so wird die Sache übersichtlicher

1. -64 *a3 + 16 *a2 - 4 *a1 +1*ao=3

2. -1 *a3 +1*a2 - 1*a1 +1*ao= - 2

3. 125*a3 + 25 *a2 +5 *a1 +1*ao=4

4. 27 *a3 + 9 *a2 + 3 *a1 +1*ao= 0

Lösung mit meinen Graphikrechner (casio)

a3= - 5/756 a2=8/27 a1=57108 ao= - 2 22/63

gesuchte Lösung ist y=f(x)= - 5/756 *x^3+8/27 *x^2 - 5/108 *x - 2 22/63

In "Handarbeit" wird´s aufwendig nach den Methoden im Mathe-Formelbuch

1. Einsetzverfahren

2. Gleichsetzverfahren

3. Additionsverfahren

4. Gaußscher Algorithmus

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Von der allgemeinen Form f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ausgehen, 4 Gleichungen aus den Bedingungen herleiten und a, b, c und d bestimmen.

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Da Du 4 Punkte hast, gibt es ein Polynom dritten Grades, welches die Bedingungen erfüllt.

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f(-4)=3 : -64a+16b-4c+d=3

f(-1)=-2 : -a+b-c+d=-2

f(5)=4 : 125a+25b+5c+d=4

f(3)=0 : 27a+9b+3c+d=0

Dieses Gleichungssystem lösen, um a, b, c und d zu bestimmen.

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