Mathe: Welche analytische Lösung gibt ers für 1,05^t = t ?

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4 Antworten

Ja, es gibt eine exakte analytische Lösung, da die Umkehrfunktion von x * e^x die
LambertW() Funktion ist.
Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
gibt es rechts neben dem Liniendiagramm zu LambertW auch ein Anwendungsbeispiel.
Dein 1.05 = 21/20 ist dort x und y ist bei Dir 1.
f1(x) = -(LambertW(-log(21/20)))/(log(21/20))
= 1.0527034550940519682897529295285625348507204650931555...

f2(x) =-(ProductLog(-1,-log(21/20)))/(log(21/20))
= 92.871528551594504007129624976916052827579229529261074...

LambertW(n,x) = ProductLog(n,x)
Natürlich hat der Mensch diese Funktion definiert und rein rechnerisch ist diese Funktion sehr schnell iterativ berechenbar. Das Gleiche gilt für Wurzelfunktionen -> und auch diese gelten als analytisch explizit -> also nicht als Näherungsfunktion.

Kr642 14.03.2014, 02:08

Stern von mir ! ...obwohl ich diese LambertW-Funktion dort nicht explizit gefunden habe! Ist es letztendlich doch ein Iterationsverfahren ??

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hypergerd 14.03.2014, 15:13
@Kr642

Wie jede der etwa 300 Funktionen gibt es mehrere Arten von Algorithmen zur Berechnung von Funktionswerten:

  • unendliche Summen (Seriendarstellung: für |x| < 1/e im Bild des LINK also
    f(x) = x - x² + (3 x³)/2 - ...
  • Integrale
  • selbstkonvertierende Iterationen
  • Bisektion (reines Näherungsverfahren)
  • Grenzwertformeln (Limes ... )
  • hypergeometrische Funktionen (hier habe ich leider noch keine gefunden)

Also absolut kein Unterschied zu Funktionen wie sin(x) oder Wurzel(x)!
Nur weil der Algorithmus mit der selbstkonvergierenden Iteration hier für die meisten Bereiche der Argumente der effektivste ist (wie bereits oben beschrieben auch bei der Wurzelfunktion), so ist es doch eine anerkannte Funktion!
Natürlich mag es einige Menschen (Lehrer) geben, die diese nicht anerkennen wollen, aber dann sollen sie mal selbst 10000 Stellen von
sin(97/96) berechnen -> denn für alle Algorithmen gilt:
die Berechnungen enden in Wirklichkeit nie, da (bis auf wenige Ausnahmen) fast immer irrationale Werte - also unendlich viele nicht periodische Nachkommastellen herauskommen.

Taschenrechner verwenden übrigens meist Näherungsformeln, da diese für die 8 angezeigten Stellen ausreichen.

zu "...nicht explizit gefunden habe...": neben Wikipedia findet man sie im LINK unten bei "Wolframs Liste von 328 Funktionen" unter dem Namen "ProductLog(z)" als elementare Funktion (59 Unter-Formeln) ...

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hypergerd 14.03.2014, 17:20
@hypergerd

Wiki: "Als analytisch bezeichnet man in der Mathematik eine Funktion, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist."

LamberW(1/10) = summe (-k)^(k-1)/(k! * 10^k) , k=1...unendlich

analytisch genug?

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zeichnerisch: y=1,05^x mit y=x (1. Winkelhalbierende) und Schnittpunkt ablesen.

Sonst Näherungsverfahren

Danargon 11.03.2014, 07:32

Das wird so nichts werden, da man eine variable nicht durch zwei neue ersetzen kann, du rechnest ja auch nicht eins hoch apfel=apfel -> birne=1 hoch klavier ;)

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tinafritz1992 11.03.2014, 07:38
@Danargon

Natürlich geht das so. Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der 1,05^t=t ist.

Sieh es doch mal umgekehrt. Du hast 2 Funktionen f(t)=1,05^t und f(t)=t. Jetzt sollst du den Schnittpunkt berechnen. Was machst du dann? Du setzt die Funktionen gleich und bekommst 0,05^t=t

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Kr642 11.03.2014, 11:15
@tinafritz1992

Hallo, danke soweit an alle für die Antworten u Kommentare ! Genau das war der Ausgangspunkt: Schnittpunkt zweier Funktionsgrafen nach einer Aufgabe aus einem aktuellen Lehrbuch Klasse 10 !

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hypergerd 14.03.2014, 17:26
@Kr642

Ja, in der 10. Klasse ist die LambertW-Funktion natürlich nicht bekannt.

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Volens 11.03.2014, 14:43

@Ellejolka:

Der Scrollbalken ist wieder da. 11-03-2014 14:42

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Mit Schulmitteln nicht analytisch lösbar!

Wie wäre es mit Iteration ? Oder ist das auch nicht erlaubt ?

Es gibt zwei Iterationsformeln -->

t = 1,05 ^ t

t = log 1,05 (t) (Logarithmus zur Basis 1,05 von t) --> t = ln(t) / ln(1,05)

Die erste Iterationsformel führt mit einem Startwert von t = 1 zu -->

t = 1,052703455094052

Die zweite Iterationsformel führt mit einem Startwert von t = 2 zu -->

t = 92,87152855159438

Kr642 14.03.2014, 02:06

Ja, danke für die auch schon super genauen Lösungen ! Iteration nenne ich mal "maschinelles Probieren"

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hypergerd 14.03.2014, 17:41
@Kr642

Iteration ist die Wiederholung von Rechenschritten, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Nun gibt es mehrere Iterations-Algorithmen:
a) selbstkonvergierende Iteration (Ergebniswert immer wieder neu einsetzen):
also Variante von Spielkamerad
Start: aB[0]=93;
Iteration: aB[i+1]=log(aB[i])/log(1.05);
Abbruch: i>19
siehe http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm
b) Bisektion ("maschinelles Probieren"):
Angabe eines Such-Intervalls nötig -> bei jedem Schritt wird Intervall verkleinert
c) Newton-Verf. : mit Hilfe von Ableitungen kann die Konvergenzgeschwindigkeit von a) verbessert werden
d) Anderson-Björck kann b) verbessern
usw. ...

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