Mathe: Was sind Restklassen und wie rechnet man damit?

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3 Antworten

Dass man das in der Schule schon macht, erstaunt mich etwas. Nun gut, ich will auch mal meinen Senf dazu geben ^^

Wie guinan schon erklärt hat, geht es bei der Rechnung mit Restklassen um die Division mit Rest. Ein mathematischer Satz ist nämlich die Aussage, dass es zu einer natürlichen Zahl n und einer ganzen Zahl x immer eine ganze Zahl p und eine natürliche Zahl q mit q<n gibt, sodass gilt:

x = p * n + q. Warum ich dir das so kompliziert aufschreibe, wird sich nachher herausstellen. Diese Gleichung sagt uns eigentlich nur, dass wenn wir x durch n teilen wollen, ein Rest q übrig bleiben kann, der aber kleiner als n ist.

Beispiel: Wir wollen 16 durch 3 teilen. Es gilt: x = 16 und n = 3.

16 = 5 * 3 + 1. Diese "+1" am Ende ist der Rest, der bei der Division übrig bleibt. Man sagt in diesem Fall:

16 ist kongruent 1 Modulo 3, oder wenn du es für die obige, allgemeine Gleichung haben willst:

x ist kongruent q modulo n.

Wir haben von diesem Rest aber gefordert, dass er unbedingt kleiner sein soll als unser n. Das heißt wenn ich x modulo 4 ausrechnen will, kommt eine Zahl raus, die kleiner ist als 4. Es gibt aber nur vier natürliche Zahlen, die kleiner sind als 4. Diese lauten nämlich 0, 1, 2 und 3.

Das bringt uns zu folgender Schlussfolgerung: Egal welche Zahl ich für mein x einsetze, der Rest ist immer 0, 1, 2 oder 3. Insbesondere ist für jedes x dieser Rest eindeutig bestimmt. Die Mathematiker haben sich also überlegt, z.B. alle Zahlen, bei denen der Rest gleich 0 ist, in eine sogenannte Restklasse zu packen. Diese Restklasse nenne ich [0]. Und jetzt kommen wir so langsam in die nähe deiner Additions- und Multiplikationstabellen. Die Mathematiker sind noch einen Schritt weitergegangen. Sie wollen nämlich Restklassen addieren können. Sie haben die Addition wie folgt definiert:

[a] + [b] = [a + b]. Das klingt jetzt vielleicht trivial oder auch vollkommen bekloppt, aber wir akzeptieren es ^^ Nun gucken wir uns nochmal diese Tabelle an, in der m = 5 ist.

Ist m = 5, haben wir 5 Restklassen, nämlich [0] bis [4]. Nun haben wir in der Additionstabelle z.B.folgende Rechnung stehen:

[3] + [4] = [2]. Wir prüfen es einfach nach. Was ist denn [3] + [4]? Mit meiner obigen Definition gilt:

[3] + [4] = [3 + 4] = [7]. Aber diese Restklasse gibt es ja gar nicht, weil sie nicht kleiner ist als 5. Wir müssen also prüfen, welcher Restklasse [7] entspricht. Dazu müssen wir den Rest von 7:5 ausrechnen. Wir kommen auf 2. Also [7] = [2].

=> [3] + [4] = [2]. Die Tabelle sagt die Wahrheit ^^

Bei der Multiplikation verhält es sich ähnlich. Man definiert:

[a] * [b] = [a * b].

Erinnerst du dich, dass du in der 4. Klasse, als du geteilt gerechnet hast und noch nicht die Kommaschreibweise konntest, immer am Ende Rest ... geschrieben hast?

Vierte. Klasse: 21:5= 4 Rest 1

Gymnasium (Rechnen mit Restklassen):

m= 5

21 (ist kongruent zu, also das mit den 3 Strichen) 1


Wenn du also irgendwo die Aufgabe 3 mal 7 Modulo 5 hast, weißt du nun, es kommt zwar 21 raus, aber du guckst dir nur den Rest beim Teilen durch 5 an und der ist 1.

In deinem Beispiel:

2 mal 2 =0 könnte nur dann Stimmen, wenn es Modulo 2 oder 4 wäre. Weil 2 mal 2 =4 und 4 ist kongruent zu 0 Modulo 4 (oder auch Modulo 2), es lässt also keinen Rest wenn du ruch 4 (oder 2) teilst.


Noch ein Beispiel:

30-7 modulo 6 ist kongruent zu? : 30-7 ist 23. 23:6 = 4 Rest 5.

Also ist 30-7 kongruent zu 5 Modulo 6


Versuch mal. Was ist 10+8 modulo 7?

guinan 30.08.2012, 01:13

Hast dus verstanden? Also das m heißt modulo. Und das ist die Zahl, durch die geteilt wird. Und es interessiert nur, welcher Rest bleibt, das andere ist egal und wird weggelassen.

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Waterflow 30.08.2012, 01:19
@guinan

Danke für deine Super Antwort. Ich hoffe ich verstehe es halbwegs. Das liegt sicher nicht daran das du es falsch erklärst, wohl eher daran das ich ein wenig zu müde und zu "ungebildet" bin...

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30-7 modulo 6 ist kongruent zu? : 30-7 ist 23. 23:6 = 4 Rest 5. Also ist 30-7 kongruent zu 5 Modulo 6

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Ist 23:6 nicht 3 Rest 5 oder hab ich nen gedankenfehler. Zu deiner Aufgabe (die ich sehr Schätze das du sowas machst und zwar kostenlos)

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  • 10+8 modulo 7

  • 18:7 = 2 Rest 4

Jetzt versteh ich nur nicht wie es weiter geht. Und in deinem Beispiel oben wo kommt der Satz: "Also ist 30-7 kongruent zu 5 Modulo 6" her?

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Trotzdem danke :)

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guinan 30.08.2012, 09:34
@Waterflow

Hi,

guteffrage war kurzzeitig von mir nicht mehr aufzurufen. Daher nun nochmal:

10+8 modulo 7

18:7 = 2 Rest 4

Ist vollkommen richtig.

Nun interessiert dich aber nur noch der Rest. Die 2 ist dir völlig egal, die schmeißt du weg. Du sagst nur:

18 geteilt durch 7 lässt den Rest 4.

Übersetzt:

18 modulo 7 ist kongruent zu 4.


Du hast natürlich Recht. 23:6 = 3 Rest 5. Die Konzentration....Alzheimer lässt grüßen ;-)

Aber die 3 interessiert eh nicht mehr.

23 geteilt durch 6 lässt den Rest 5

23 modulo 6 ist kongruent zu 5

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guinan 30.08.2012, 09:55
@guinan

Also m ist das modulo und immer die Zahl, durch die geteilt wird.

Und dabei ist die Satzstellung völlig egal.

65 geteilt durch 3 lässt den Rest 2

65 modulo 3 ist kongruent zu 2

65 lässt den Rest 2, wenn man durch 3 teilt.

65 ist kongruent 2 modulo 3

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Ich würde mal sagen, du bist echt cool, gehe bitte auf eine andere Schule z.b das Gymnasium da du unterfordert bist. Du stellst hier Aufgaben die ich im Leben nicht verstehen kann, aus dir wird noch was. Weiter so.

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