Mathe vershiedende Fragen?
einen wunderschönen guten Morgen,
ich habe ein paar allgemeine Fragen zu Mathe und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
1. Wieso kann man mithilfe der Nullstellen (x-x(1))(wenn man alle Nullstellen miteinander multipliziert auf die Ursprungsfunktion kommen?
2. Ich habe eine Frage zu der Symmetrie von Polynomen. liegt ein gerader Exponent vor, so kann man eine Achsensymmetrie festellen. Angennommen , der höchste Exponent ist gerade, aber es gibt auch einige ungerade Exponenten, kann man dann sagen, weil der höchste exponent gerade ist, dass die Funktion Achsensymmetrisch ist? Wie kann man eine Verschiebung entlang der X Achse festellen? Bei quadratischen Funktionen sieht man das ja (x-2) ´ˋ2 kann man ja direkt eine Verschiebung um 2 nach rechts festellen?
3. Immer wenn ich eine Polynomfunktion sehe, probiere ich, mir sie bildlich vorzustellen. Kann man eine Art Gruppen definieren, wie Polynome aussehn (beispielsweise bei geraden exponenten zeigt die Parabel nach oben).
4.. F ´´´ kriterium. Um Die Links/Rechtskrümmung festzustellen, kann man die Kooardinate des Wendepunkts in die 3 Ableitung einsetzen. Bei einem negativen Wert kann man eine rechts links krümmung festellen. Gilt das f 3 kriterium immer und wenn ja wieso?
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3 Antworten
Wieso kann man mithilfe der Nullstellen (x-x(1))(wenn man alle Nullstellen miteinander multipliziert auf die Ursprungsfunktion kommen?
Das kann man im Reellen nur dann wenn das Polynom vollständig in seine Nullstellen zerfällt, d.h. wenn die Summe der Vielfachheiten der Nullstelle gleich dem Grad des Polynoms ist. Weiter muß das Polynom normiert sein (d.h. der Faktor bei der Potenz mit höchstem Grad muß 1 sein). Die Aussage folgt aus dem Identitätssatz für Polynome
haben die gleichen Nullstellen, den gleichen Grad und den gleichen Leitkoeffizient (1), sind also identisch.
Angennommen , der höchste Exponent ist gerade, aber es gibt auch einige ungerade Exponenten, kann man dann sagen, weil der höchste exponent gerade ist, dass die Funktion Achsensymmetrisch ist?
Nein. Die Funktion hat dann keine Symmetrieeigenschaft. Es müssen alle Exponenten entweder gerade (achssymmetrisch) oder ungerade (punktsymmetrisch) sein.
Kann man eine Art Gruppen definieren, wie Polynome aussehn (beispielsweise bei geraden exponenten zeigt die Parabel nach oben).
Aus der Kombination des Vorzeichens des Leitkoeffizienten und ob die höchste Potenz gerade oder ungerade ist lassen sich vier Gruppen bilden. Du findest sie im nachfolgenden Text unter dem Kapitel "Grenzwerte"
Ganzrationale Funktionen • einfach erklärt · [mit Video]
Gilt das f 3 kriterium immer und wenn ja wieso?
Ja. Um das zu verstehen mußt du dir die Ableitung als Steigung der Tangente an die Funktion vorstellen. Diese Steigung wird immer größer wenn die Funktion nach links gekrümmt ist und immer kleiner wenn sie nach rechts gekrümmt ist. Überlege dir nun was das für das Verhalten um den Wendepunkt bedeutet.
Weise zunächst nach dass das Ausmultiplizieren des Produktes auf der rechten Seite wieder ein Polynom ergibt (z.B. mit vollständiger Induktion). Du hast also links und rechts Polynome n-ten Grades stehen, die mindestens an n Punkten (nämlich an den Nullstellen) überein stimmen. Zusätzlich stimmt der Leitkoeffizient überein. Damit ergibt sich insgesamt dass die beiden Polynome identisch sein müssen.
Achso, okay, ja. So verstehe ich es, danke.
bezogen auf die letzte Frage: geht das f 3 kriterium für höhere exponenten wie bspw x hoch 7? Danke übrigens?
Ja natürlich. Es macht erst ab Grad vier überhaupt Sinn, denn bei kleinerem Grad ist ja die dritte Ableitung konstant oder gar die Nullfunktion.
- Das geht nur im Bereich der komplexen Zahlen. x²+1 hat keine reellen Nullstellen.
- Nein, nur wenn alle Exponenten gerade sind.
- Ein Polynom n-ten Grades hat bis zu n-1 Extremwerte. Dazwischen geht es auf und ab.
- Ja. es liefert eine Aussage über die Umgebung des Wendepunktes.
Das geht nur im Bereich der komplexen Zahlen.
Der reellen Zahlen. Es geht aber auch mit imaginären. Dein Beispiel,
Nullstellen +i und -i:
(x-i) * (x+i) = x²+1
- Das geht nicht ganz. Wenn eine quadratische Funktion die NS 1 und 2 hat, ist ihre Funktionsgleichung a * (x-1) * (x-2). Das a kann man damit nicht bestimmen; dafür braucht man einen Punkt.
- Symmetrisch zur y-Achse (wichtig, denn quadratische Funktionen z. B. sind immer symmetrisch, nur evtl nicht zur y-Achse) ist die Funktion nur, wenn alle Koeffizienten gerade sind. Wenn der Koeffizient der höchsten Potenz von x positiv ist, ist die Funktion nach oben offen, negativ --> nach unten. Wenn alle Koeffizienten ungerade sind, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hey, ich habe mir eben nochmal alles durchgelesen. Habe fast alles verstanden. Ich habe den Identitätssatz verstanden (den Inhalt des Videos), jedoch wird mir nicht ganz klar ersichtlich, worin hier der Zusammenhang zu der Linearfaktorzerlegung besteht. Könntest du mich hierüber nochmals aufklären?
Ich danke dir ganz herzlich.