Mathe (uni) stetigkeit

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1 Antwort

A. Das ist irgendwie eine Scherzaufgabe:

f(x) = 2 | x | / x

ist für x = 0 nicht definiert (verbotene Division durch Null). Damit erübrigt sich die Frage, ob die Funktion dort stetig ist.

B. Für alle andere x ist ist die Funktion stetig, denn sie ist für x > 0 mit x = 2 identisch, für x<0 mit x = -2. Also reicht eine entsprechende Fallunterscheidung aus, um das zu zeigen.

styler31 03.07.2013, 16:34

wie muss ich denn jetzt bei den anderen fälle den limes hinschreiben. reicht es aus wenn ich nur rechtseitigen und linksseitigen grenzwert betrachte

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psychironiker 03.07.2013, 17:56
@styler31

Eine Funktion ist stetig (und nicht nur einseitig stetig) an einer Stelle x0, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert überseintimmen.

A. Für deine Funktion gilt für alle x0 > 0

lim 2 | x | / x = lim 2 x / x = 2,

und zwar für x → x0 + 0 ebenso für x → x0 - 0 (oder welche Limes-Schreibweise ihr halt für den rechts- und linksseitigen Grenzwert eingeführt habt). Die Funktion ist also stetig (und nicht nur einseitig stetig) für alle x0 > 0.

Du kannst das auch noch grundsätzlicher mit "Epsilontik" nach Weierstraß machen; dazu muss nur δ < x0 gewählte werden; ich weiß ja nicht, was genau in der Aufgabe verlangt wird (der komplette Originaltext der Aufgabe wäre vielleicht hilfreich).


B. Ganz entsprechend kannst du das für die x0 < 0 hinschreiben ( -> mach' mal).


C. Wenn f(x) für x = 0 als mit f(x) = 0 definiert wäre, wäre sie eine andere Schreibweise für

f(x) = 2 sgn (x),

und diese Funktion ist in der Tat unstetig bei x = 0, was auch leicht nachzuweisen ist. Hast du vielleicht einen Teil der Definition der Funktion unterschlagen?

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styler31 04.07.2013, 13:41
@psychironiker

In der Vorlesung haben wir die stetigkeit lim n gegen unendlich f(zn)=f(z0) def.

dann habe ich dies folgendermaßen zu dieser aufgabe geschrieben

1 Fall x>0 lim n gegen unendlich 2 abs(n) / n = 2 abs(x)/x

dann habe ich in der folge unendlich eingesetz das ganze konvergiert dann gegen 2 und für den funktionswert habe ich zum beisspiel die 2 gewählt und da habe ich auch 2 rausbekommen. da meine folge und funbktionswert übereinstimmen ist die funktion für fall 1 stetig. dies habe ich genau so für den fall 2 x<0 aber dann bei der folge dann halt gegen -unendlich laufen lassen und beim funktionswert habe ich -2 gewählt

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psychironiker 04.07.2013, 21:44
@styler31

Anscheinend benutzt du die alternative Definition der Stetigkeit: Eine Funktion ist stetig an der Stellen x0, wenn für alle Folgen von Unabhängigen, die für n → ∞ gegen x0 konvergieren, die jeweils entsprechende Folge <f(x_ n)> von Funktionswerten gegen f(x0) konvergiert.

Ich kann das aus deiner Formulierung aber eher erraten als tatsächlich schließen (denn du definierst nirgendwo, welche Folge(n) du überhaupt genau betrachtest). Ansonsten haut das für die Fälle x>0 und x<0 im Prinzip hin (alle zu betrachtenden Folgen sind trivial konvergent gegen +2 bzw. -2).

Ich weiß aber nimmer noch nicht, ob deine Funktion für x = 0 nun irgendwie doch definiert ist, so dass auf Stetigkeit untersucht werden könnte.

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