Mathe Ungleichungen Lösungsmengen ß?

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3 Antworten

hätt ich genauso gemacht:
1. x-4>x² und x-4>=0
=> x²-x+4<0 und x>=4    => keine Lösung, da nach pq-Formel Wurzel negativ
2. -(x-4)>x² und x-4<0
=> -x+4>x² und x<4
x²+x-4<0 und x<4 => als Gleichung lösen: x1=1,56; x2=-2,56
Lösung -2,56<x<1,56

gibst Du die Grenzen in die Ausgangsungleichung ein ("ungerundet") so steht auf beiden Seiten das Gleiche, nimm einen Wert knapp über 1,56 oder unter -2,56 und die Ungleichung stimmt nicht mehr; nimm Werte innerhalb des Intervalls und die Ungleichung stimmt.

Wie man das eleganter kontrolliert wüsste ich im Moment auch nicht...

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Kommentar von Fragant777
26.12.2015, 18:20

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Damit du was für die Anschauung hast, lass es dir mal plotten. Dann siehst du, dass genau zwischen diesen x-Werten |x-4| über den Werten der Parabel liegt.
Du kannst natürlich auch einige x einsetzen und rechnen, aber ein Graph ist immer gut für die Vorstellung.
Wolfram kriegt das hin:

|x-4| > x²

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im Voraus mit einem r

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Die Lösungsmenge einer (stetigen) Ungleichung (<) ist eine Vereinigung von offenen Intervallen. Die Intervallgrenzen sind entweder Lösungen der entsprechenden Gleichung (=), oder Randpunkte des Definitionsbereichs.

Deshalb berechnet man zuerst die Gleichung (=). Zur Kontrolle kannst Du alle Werte wieder in die Gleichung einsetzen.

Danach untersucht man jedes Intervall zwischen zwei benachbarten Lösungen: Erfüllt irgendein Wert dazwischen die Ungleichung, so ist das ganze Intervall in der Lösungsmenge enthalten. Andernfalls ist es komplett draußen.

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Bei Dir lauten die zu untersuchenden Intervalle

a) ]-∞, -2.56[
b) ]-2.56, 1.56[
c) ]1.56, ∞[.

Setze also zum Beispiel die Zwischenwerte -3, 0 und 2 in die Ungleichung ein:

zu a) |-3-4|>(-3)² ⇔ 7>9 ⇔ falsch!
zu b) | 0-4|>0² ⇔ 4>0 ⇔ richtig!
zu c) | 2-4|>2² ⇔ 2>4 ⇔ falsch!

Die Lösungsmenge ist also nur 𝕃 = ]-2.56, 1.56[.
(Hier stehen übrigens keine geschweiften Klammern — die nimmt man nur, um einzelne Werte aufzulisten oder eine Bedingung anzugeben.)

Für lineare und quadratische Ungleichungen gibt es zwar Regeln, die einem das Probieren ersparen können, aber viel gewonnen hat man dabei nicht. Spätestens bei der Probe wird man ja doch wieder einen Beispielwert einsetzen.

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P.S.: |x-4| < x² hat die Lösungsmenge 𝕃=]-∞, -2.56[ ]1.56, ∞[.

Alternative Schreibweise: 𝕃 = { x∈ℝ | x<-2.56 ∨ x>1.56 }

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