Mathe Ungleichung! Wieso führt mein Lösungsweg nicht zum Ziel?

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2 Antworten

In der Regel versucht man zunächst die Ungleichung auf eine anschaulichere Form zu bringen:

(x²-4)(x²+300) < (4x²+16)(x²-4)-1(x²+4)(x²-4)

Bspw.:

Ausklammern von gemeinsamen Faktor:

(x²-4)(x²+300) < [(4x²+16)-1(x²+4)](x²-4)

Wir sehen dann, dass wir bspw. die eckige Klammer noch vereinfachen können:

(x²-4)(x²+300) < [(4x²+16)-1(x²+4)](x²-4) = [4*(x²+4)-1(x²+4)](x²-4)

-->  (x²-4)(x²+300) < 3*(x²+4)*(x²-4)

Wir können dann versuchen die linke Seite auf eine "ähnliche" Form wie die rechte Seite zu bekommen:

-->  (x²-4)(x²+ 4 + 296) < 3*(x²+4)*(x²-4)

--> (x² - 4)[ (x² + 4) + 296] <  3*(x²+4)*(x²-4)

Subtrahieren auf beiden Seiten liefert:

--> (x² - 4)*296  <  2*(x²+4)*(x² - 4)

Nun gilt es zu berücksichtigen, dass x² - 4 ungleich 0 sein muss für den nächsten Schritt (die Lösungen x = +/- 2  sind aber sowieso schon aufgrund der strikten Ungleichheit ausgeschlossen):

Wir folgern also für x ungleich +/- 2 :

Fall 1:

Da  (x² - 4)  größer und vor allem auch kleiner 0 sein kann müssen wir nun eine Fallunterscheidung vollziehen, damit die Korrektheit der Richtung der Ungleichheit erhalten bleibt.

Sei nun in unserer Betrachtung:  x² - 4 > 0 ---> x² > 4  ---> |x| > 2

---> 296 < 2*(x² + 4)  

---> 148 < x² + 4 

---> 144 <  x²  

Da  x² = (-x²) gibt es also die positiven und negativen Lsg. zu berücksichtigen. Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten liefert uns:

--> 12 < |x|   , wobei dies unsere Vorraussetzung |x| > 4 erfüllt, es handelt sich hierbei also um die Lösung für diesen Fall.


Fall 2: Betrachte den Fall (x² - 4) < 0 :   (Umkehrung der Ungleichheit)

Dies Schränkt x ein zu:   |x| < 2

--> 296 >  2*(x² + 4)

--> 148 > x² + 4

--> 144 > x²

Beachte gleiches Problem wie oben, ziehen der Wurzel liefert hier:

--> 12 > |x|    wobei dies unsere Vorraussetzung  |x| < 2 erfüllt.

Beachte zusätzlich, dass aufgrund (x² - 4) ungleich 0 die Lösungen x = +/- 2 entfallen.


Wir erhalten also insgesamt die Lösungsmenge:

|x| > 12 und  |x| < 2   mit x aus IR

Ich habe jetzt nicht im Detail gelesen - ABER:

Du dividierst durch  (x²-4) und gehst davon aus, dass das positiv ist - wieso?

Wenn x kleiner als 2, dann ist das negativ - also musst Du 2 Fälle unterscheiden - einmal (x2-4) positiv und ein mal (x2-4) negativ (und dann wird aus < ein >)

Stimmt, das habe ich nicht bedacht. Danke für deine Antwort. Werde das später nochmal so nachrechnen mit den zwei Fällen.

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