Mathe; umstellen folgender Funktion?

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9 Antworten

x³ - 24x² + 15 = 0

Nach Null umgestellt ist diese Gleichung bereits. Vermutlich möchtest Du aber die Nullstellen berechnen. Da es leider keine trivialen Nullstellen gibt, ist eine Polynomdivision nicht möglich.

Übrig wird Dir nur ein Annäherungsverfahren - das Newton-Verfahren zum Beispiel.

Als Lösungen für x erhältst Du dann:

x ≈ -0,7781
x ≈ 0,8042
x ≈ 23,97

Leider alles nicht wirklich schöne Zahlen.

LG Willibergi

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Was willst du da noch umstellen? Das ist schon nach 0 umgstellt!

Vielleicht solltet ihr "Nullstellen suchen" → dann hilft dir das Horner-Schema (siehe wikipedia oder da: https://www.algebra.com/algebra/homework/Polynomials-and-rational-expressions/Polynomials-and-rational-expressions.faq.question.762798.html)

Hilfreich ist, wenn du weißt, dass der konstante Teil (hier: 15) das Produkt der Lösungen ist, also probierst du bei Horner alle Teiler von 15 (auch die negativen).

Da es bei dieser Gleichung keine ganzzahligen Lösungen gibt, probierst du auch die Nachbarn der Teiler → dann findest du die ungefähre Position einer Nullstelle!

Beispiel:

x   |   1   |   -24  |   0    |    15
–––––––––––––––––––––––
1   |   1   |    -23 |  -23  |     8
2   |   1   |    -22 |  -44  |    -73  
   → bei 1 erhältst du  +8, bei 2 -73 ⇒
    ⇒ die Nullstelle liegt zwischen 1 und 2; und zwar näher bei 1 → du kannst also 1,1 als Startwert für das Newton-Verfahren verwenden.

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solch eine Aufgabe ist nur "Beschäftigungstherapy"

Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)

Nullstellen bei x1=-0,778... x2=0,8041... x3=23,97...

Maximum xmax=-7,569.. ymax=15

Minimum xmin=15,99.. ymin=-2033

In Habdarbeit musst du zuerst eine Nullstelle durch probieren ermitteln

Du versuchst 2 x-Werte x1=-1 u.x2=0 ganze Zahlen wählen,dass erleichtert die Arbeit.

zwischen x1 und x2 gibt es einen "Vorzeichenwechsel",dass bedeutet,dass dazwischen eine "Nullstelle" liegt.

Nach den Tangentenverfahren nach "Newton" (ist ein Näherungsverfahren)

x2=x1-f(x1)/f´(x1)

x1 ist deine genäherte Nullstelle und f´(x1) ist die 1.te Ableitung von f(x)

x2 ist der verbesserte Wert gegenüber x1

Dann setzt du x2 in die Formel ein und erhälst einen nochmals verbesserten Wert x3

Das wiederholst du so lange,bis die Genauigkeit ausrecht.

Dann spaltest du den "Linearfaktor" (x-x1) ab,"Polinomdvision"

du erhälst dann eine qudaratische Gleichung,deren Nullstellen du dann mit der p-q-Formel ermitteln kannst.

siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Gleichung" und auch die "Lösbarkeitsregeln"

2. Möglichkeit über "Regula falsi" (ist ein Näherungsverfahren)

Formel x3=x2-(x2-x1)/(y2-y1) * y2 mit x2>x1

x1 und x1 musst du durch probieren ermitteln und die Nullstelle liegt dann zwischen x1 und x2

x3 ist dann der verbesserte Wert.

Genau so,wie bei Newton,wird dieses Verfahren so oft durchgeführt,bis die Genauigkeit ausreicht,

WICHTIG: x2 muss größer x1 sein!!!

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FALLS du Nullstellen suchst, benötigst du ein Annährungsverfahren. Startwert, ableiten, einsetzen und rechnen.

Newton :

x(neu) = x(Start) - (f(xs))/(f'(xs ))

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Kommentar von Willy1729
04.08.2017, 17:36

Newton ist gut, liefert aber jeweils nur eine Nullstelle in der Nähe des Startwertes.

Wenn man dieses Verfahren benutzt, sollte man mit Hilfe einer Wertetabelle sehen, wohin der Hase läuft und dann entsprechend günstige Startwerte benutzen.

Herzliche Grüße,

Willy

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In der Schule werden die Schüler doch nicht so unverhofft zu irgendwelchen Näherungslösungen geschoben. Dazu ist entweder etwas im Unterricht gesagt worden, oder die vorliegende Nullstellengleichung ist falsch abgeschrieben worden oder ist das Ergebnis einer vorangegangenen fehlerhaften Rechnung.

Für das Letzte spricht auch die für die gegebene Gleichung seltsame Problemstellung.

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Kommentar von TygaX
04.08.2017, 20:17

Nein das trifft alles nicht zu , wir sollen das genau so machen wie ich es geschildert habe.

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Das ist keine Funtion sondern eine Gleichung.

funtionen wäre eher f(x) = X^3-24x^2+15

Ausserdem ist sie bereits nach 0 umgestellt. Also vermutlich willst Du die Nullstellen der Funktion  f(x) = X^3-24x^2+15 berechnen und dazu wird die funktion gleich null gesetzt. Dann sollte man nach x umstellen und hat dann die Lösung(en)



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Kommentar von Willy1729
04.08.2017, 17:34

Dann stell x³-24x²+15=0 mal eben nach x um.

Viel Spaß.

Willy

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Hallo,

eine Gleichung x³+ax²+bx+c=0 läßt sich mit Hilfe der Cardanischen Formel lösen.

In Deinem Fall ist a=-24, b=0, c=15

Zunächst bestimmst Du p und q.

p=(3b-a²)/3, also (0-(-24)²)/3=-192

q=(2a³)/27-(ab)/3+c, also (2*(-24)³)/27-(-24*0)/3+15=-1009

Aus p und q bestimmst Du die Determinante D:

D=p³/27+q²/4=(-192)³/27+(-1009)²/4=-7623,75

Da D<0, geht es mit Hilfe der Trigonometrie weiter und es gibt drei reelle Lösungen.

Du bestimmst dafür zunächst einen Winkel Phi:

Phi=arccos(-q/[2√(|p|/3)³]=9,818945638 (Winkelgrad)

Dann ist x1=2*√(|p|/3)*cos (Phi/3)-a/3=23,9739016

x2=2*√(|p|/3)*cos (Phi/3+120°)-a/3=-0,7780580431

x3=2*√(|p|/3)*cos (Phi/3+240)-a/3=0,8041564394

Für D>0 ergeben sich eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen und für D=0 gibt es drei reelle Lösungen, von denen eine doppelt ist.

In diesen Fällen geht die Rechnung auf andere Art (nicht auf trigonometrische) weiter.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
04.08.2017, 17:39

In einer Zeit, in der ein Taschenrechner für 20 Euro so ein Ding im Bruchteil einer Sekunde knackt, hat dieses Verfahren eher einen nostalgischen Wert.

Wer sich damit beschäftigt, lernt allerdings eine Menge über echte Mathematik.

Es ist interessant, sich die Herleitung der Cardanischen Formel genau anzusehen.

Man bekommt so auch eine Hochachtung vor den Leistungen von Mathematikern, die viele Generationen vor uns gelebt haben und noch keine modernen Hilfsmittel zur Hand hatten.

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Verstehe ich nicht - sollst du die x-Werte finden,
für die die Funktion 0 wird?

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Braucht man da nicht Polynomdivision?

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Kommentar von Willy1729
04.08.2017, 17:31

Kommt drauf an.

Wenn Du eine Nullstelle hast (Raten oder Näherungsverfahren), kannst Du durch (x-Nullstelle) teilen und behältst eine quadratische Gleichung übrig, die sich über die pq-Formel lösen läßt.

In diesem Fall errätst Du die Nullstellen aber mit Sicherheit nicht, dazu sind sie viel zu krumm.

Herzliche Grüße,

Willy

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