mathe umformung

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2 Antworten

erst beide Seiten der Ungleichung quadrieren, dann beide Seiten durch x * y teilen und dann die binomische Formel anwenden.

Gruß Ragnar

1/2 · (x+y) >= sqrt(xy) | Quadrieren (beachte aber das "PS" unten).

1/4 · (x+y)² >= xy | ·4

(x+y)² >= 4xy | 1.binomische Formel

x² + 2xy +y² >= 4xy | -4xy

x² - 2xy + y² >= 0 | 2.binomische Formel

(x-y)² >= 0


PS: Vorsicht:Durch das Quadrieren wird die Lösungsmenge größer: Es entstehen Lösungen, die keine Lösungen der ursprünglichen Ungleichung sind, zB x=y=-1, da ist sqrt(xy) definiert, aber das ist keine Lösung der ursprünglichen Ungleichung. Jedoch, x=y=-1 ist eine Lösung der Ungleichung, die durchs Quadrieren entsteht.

Nimmt man noch die Bedingung hinzu, dass x und y beide größergleich 0 sind, dann erhält man auch nach dem Quadrieren die korrekte Lösungsmenge. Es müsste also eigentlich heißen:

(x-y)² >= 0 und x, y beide größergleich 0.

bello555 23.03.2012, 08:11

vielen dank

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