Mathe Übungsklausur mit e-Funktion?

...komplette Frage anzeigen Arbeitsblatt - (Mathe, e-funktion, ableiten)

2 Antworten

Hallo,

anbei ein Lösungsvorschlag für die Aufgabe 1a.

Gruß

Aufgabe 1a - (Mathe, e-funktion, ableiten)

Wo genau hast du denn bei dieser Aufgabe Probleme ? :-)

Ir0nMan 23.02.2017, 11:50

Zu Aufgabe 1)

Zunächst ist nach den Parametern a und k gefragt. Um den Parameter a zu bestimmen, setzt du für x = 0 ein, da somit k aus der Gleichung herausfällt. Den passenden y - Wert kannst du der darüberstehenden Tabelle entnehmen. Dann hast du eine Variable und eine Gleichung --> lösbar

Parameter k bestimmst du dann einfach über x = 3 wie angegeben. a hast du bestimmt, der passende y - Wert ist wieder gegeben. Gleichung einfach nach k umstellen und schon hast du die Lösung. Oder mit dem Taschenrechner einfach die solve Funktion benutzen.

Um in diesem Modell die Anzahl der Erkrankten nach 8 Wochen zu berechnen, wählst du für x = 8, da x für die Anzahl der Wochen steht. Dann musst du dieses Ergebnis nur noch interpretieren. Ich schätze mal es wird ein viel zu hoher Wert für x = 8 herauskommen als in der Tabelle angegeben, da die Kurve stetig ansteigt. Das Ergebnis ist also quatsch, da sich irgendwann ja ein Grenzwert einstellen wird und nicht unendlich viele Menschen krank werden. Die Leute werden auch wieder gesund und die Krankheit wird eingedämmt.

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Ir0nMan 23.02.2017, 12:09

Zu Aufgabe 2)

Hier brauchst du den Themenblock des beschränkten oder begrenzten Wachstums :-).

y = S - ( S - y0 ) * e^-(k*x)

Hierbei ist S die Schranke, in deinem Fall also 180. y0 ist der Startwert, also bei t = 0  --> 15 Erkrankte. Dein k entspricht den 30%.

Nur mal so zum Verständnis der Gleichnung. Wenn du für x einen hohen Wert einsetzt wird nur das Minus im Exponenten der Wert kleiner. Man kann nämlich schreiben:

e^-(k*x) = 1/(e^(k*x))    Wenn x in dem Rechten Teil der Gleichung größer wird, erhöht sich der Nenner und dadurch wieder der Bruch kleiner. Dann wird weniger von der Schranke abgezogen und das Ergbenis somit größer.

Die Ableitung steht für die Steigung des Graphens. Bilde zunächst die durchschnittliche Wachstumrate. Das Ergebnis davon setzt du dann mit der Ableitung gleich und dann löse nach x auf.

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Ir0nMan 23.02.2017, 12:24

Zu Aufgabe 3)

Das nennt sich logistisches Wachstum. Da gibt es auch eine Standartformel und das kann man alles googlen :-)

Der Graph sieht aus wie eine S - Kurve. Erst Steil ansteigend wie eine Exponentialfunktion und dann nach dem Wendepunkt sieht er aus wie eine Kurve eines beschränkten Wachstums. Der Punkt der höchsten Steigung ist der Wendepunkt. Also bestimmst du den Wendepunkt dieser Funktion. Das macht man indem man die zweite Ableitung gleich 0 setzt und nach x auflöst.

Diese Lösung setzt man dann in die dritte Ableitung ein. Ist das Ergebnis dann gRRRRRößer 0 dann ist es ein RRRRechts - links - Wendepunkt.

Ist das Ergebnis kLLLLLeiner 0, dann ist es ein LLLLLLinks - rechts - Wendepunkt.

Vergiss bitte nicht das notwendige und das hinreichende Kriterium immer dazu zu schreiben. Das gab bei uns immer hart Punktabzug.
Also immer vor die Rechnung schreiben. f''(x) = 0 & f'''(x) ≠ 0

Die Anzahl der am Anfang Erkrankten Leute berechnet man, indem man x = 0 einsetzt.

Eigene Grenzwertbetrachtung geht so:

lim x--> unendlich (180/(1+11*e^(-0,6*x)))

Wie in Aufgabe 2) schon gessagt, kann man e^(-x) = 1/e^x setzen. Wenn du für x also unendlich einsetzt wird der Nenner unendlich. Somit wird 1/(e^(-0,6*unendlich)) = 0. Es bleibt also stehen:

lim x--> unendlich = 180/(1+0) = 180/1 = 180

90% entsprechen 0,9

0,9 * 180 = 162

setze y = 162 und bestimme x

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