Mathe Trigonometrische Funktionen berechnen ?

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cos(2x) + cos(4x)=0

Substitution:

2x = u

cos(u) + cos(2u) = 0

cos(2u) = cos²(u) - sin²(u) = cos²(u) - (1 - cos²(u)) = 2cos²(u) - 1

Substitution:

cos(u) = v

cos(2u) = 2v² - 1

v + 2v² - 1 = 0

Es gibt zwei Lösungen: v = -1 und v = 1/2.

Dementsprechend u = 180°, u = 60° und u = -60°,

x = 90°, x = 30°, x = -30°.

Weil u die Periode 360° hat, hat x die Periode 180°, also sind die Lösungen

x = 90° + k * 180° (k ist ganze Zahl)

x = 30° + k * 180°

x = -30° + k * 180°

Man kann das auch zu

x = -30° + k * 60° zusammenfassen.

Es gibt verschiedene Wege zur Lösung. Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichung soweit umzuformen, dass ein Produkt entsteht, um dann den Satz vom Nullprodukt anzuwenden:

cos(4x) = 8 * cos^4(x) - 8 * cos²(x) + 1

cos(2x) = 2 * cos²(x) - 1

Das führt zu:

8 * cos^4(x) - 8 * cos²(x) + 1 + 2 * cos²(x) - 1 = 0

2 * cos²(x) * (4 * cos²(x) - 3) = 0

also:

2 * cos²(x) = 0

4 * cos²(x) - 3 = 0

...

aus cos(2x) + cos(4x) = 0 folgt sofort cos(2x) = -cos(4x)

Jetzt alles mit arccos: 2x = arccos(-cos(4x))





also



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