Mathe Textaufgabe bezüglich Radioaktivität(Exponentialfunktion)?

5 Antworten

allgemein lautet die Gleichung der Exponentialfunktion: f(x)=a * b^(x/t)
a ist der Startwert; b das "Wachstum" und t der Zeitfaktor (hier die Anzahl der Jahre, nach denen der Stoff nur noch die Hälfte an Masse hat).

Stellst Du die Funktion so auf, dass die Funktionswerte den prozentualen Rest des Stoffes angibt, dann wäre der Startwert bei a=100 (%). Da es hier um Halbwertszeiten geht, ist b=0,5.

Also wäre die Gleichung für Cäsium:
f(x)=100 * 0,5^(x/33)

Setzt Du nun z. B. x=33 (Jahre) ein erhältst Du f(33)=100 * 0,5^1=50 (%)

Du sollst ausrechnen, wann nur noch 1% Masse übrig ist, also f(x)=1:
1      = 100 * 0,5^(x/33)        |:100
0,01 = 0,5^(x/33)                 | logarithmieren; Regel: ln(a^b)=b * ln(a)
ln(0,01) = x/33 * ln(0,5)       |* 33 : ln(0,5)
33 * ln(0,01)/ln(0,5) = x       |Taschenrechner
x=219,25

Nach ca. 219 1/4 Jahren ist die Masse von Cäsium 137 nur noch 1% seiner Ausgangsmasse.

Ich habe alle Erklärungen verstanden und weiß jetzt wie man darauf kommt aber ich habe dennoch einen ganz anderen Rechenweg,aber die Ergebnis ist gleich.

0,01=1*0.5hoch n    /:1

0,01=0,5hoch n        /:log0.5

log0,01:log0,5 =n

n=6,64

6,64*33=219,247

Geht dies aus? oder macht es keinen Sinn ?

Dies habe ich auch bei Strontium gemacht und habe raus ,dass es ca. 189 Jahre dauern würde. Ist das richtig?

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@Redlips20

Oder diese hier:

Wn=1*0,5hoch 0,04(weil 1:28,5=0,035)

Wn=0,972

dann:

0,01=1*0,979hoch n      /:1

0,01=0,979hoch n         /:log0,979

log0,01:log0,979=

n=216,98

es kommt zwar ein etwas anderes Ergebnis, aer die Rechnung ist doch auch richtig, oder ? und demnach könnte doch auch das Ergebnis richtig sein?

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@Redlips20

zu Kommentar 1: Die Anzahl der Jahre gehört eigentlich direkt mit in den Exponenten; wenn Du mehrere gleiche Rechnungen - wie hier - machen musst, kannst Du ja die Jahre als Parameter stehen lassen, so dass Du am Ende des Auflösens n=6,64 * t übrig hast. Dann kannst Du für jeden Stoff die Jahre mit dem entsprechenden t (Jahre der Halbwertszeit) ausrechnen.

zu Kommentar 2: 0,04 ist nicht 0,035...!!! Durch das Runden kommt natürlich ein anderes (falsches) Ergebnis raus. Rechne mit 1/28,5 bis zum Ende; erst ganz zum Schluss sollte man runden.

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Für Cäsium:

Zu Beginn hast du eine bestimmte Masse des Elements. Ich nenne die Masse jetzt m, das wir sie nicht kennen.

Nach 33 Jahren sind nur noch 50% der Masse übrig.

Aus dieser Info können wir nun errechnen, wie viel Masse jährlich zerfällt.


Bekannt sollte die Formel W(t)=W(0) * c^t sein


c ist hierbei die Zerfallrate, W(t) die Masse o.ä. zum Zeitpunkt t. W(0) ist demnach die Anfangsmasse.

Für W(t) setzen wir 0.5 ein, für W(0) m und für t 33. Dass wir m nicht kennen, ist nicht schlimm, wie du sehen wirst.


0.5*m=m * c^33 | :m

0.5=c^33 | 33. Wurzel

c=0.9792146


Pro Jahr bleiben also etwa 97.92% übrig, d.h. 2.08% zerfallen jährlich.


Nun können wir errechnen, wann nur noch 1% der Anfangsmasse (m*0.01) da ist. Wir suchen nun also nicht c, das kennen wir ja jetzt, sondern t.


m*0.01 = m*0.9792146^t | :m

0.01=0.9792146^t | log


Wenn du einen Wert suchst, der im Exponenten steht, wendest du den Logarithmus an!


log(0.01) = log(0.9792146^t)

Nun wendet man die Regel log(a^b) = b*log(a) am

log(0.01) = t*log(0.9792146) | :log(0.9792146)

t=219.247

Nach etwas mehr als 219 1/4 Jahren sind somit 1% der Anfangsmasse vorhanden.


Als allgemeine Formel für die Wachstums/Zerfallsrate bei gegebener Halbwertszeit kannst du dir aufschreiben:

c= T. Wurzel aus 0.5, wobei T die Halbwertszeit ist

bzw. c=0.5^(1/T)


Als Formel für die benötigten Jahre für einen bestimmten Prozentwert p mit gegebenen/berechneten c schreibst du dir auf:

t=log(p)/log(c)


PS: Es gibt auch eine andere Formel, mit der das schneller geht. Ich habe nur diese hier drauf, um ehrlich zu sein.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Meinst du die Formel wn=w0*0.5hoch n   ?

Ich kann leider die Formel nicht korrekt aufschreiben wegen der Tastatur.

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@Redlips20

Nein, die meine ich nicht.

Deine Formel stimmt zwar, aber ich find sie sehr umständlich.


Bei deiner Formel zerfallen pro Zeiteinheit n immer 50%.

Wenn 1n=33 Jahre wäre, stimmt die Formel. Dann muss man bei sämtlichen Angaben aber immer umrechnen, und das nervt.

Mit der Formel, die ich geschrieben habe, musst du nichts mehr umrechnen. Das c, das du brauchst, kannst du mit der Formel unten ja leicht ausrechnen, dann finde ich meine Formel definitv praktischer.

Wenn du mit meiner Formel rechnest, kannst du für die Masse nach 2 Jahren einfach t=2 einsetzen. Bei deiner musst du erst umrechnen und kannst nicht direkt 2 einsetzen.

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Die Formel hierfür lautet 0,5^(t/T) = 0,01. T ist die Halbwertszeit und t die gesuchte Zeit. Einfach über den Logarithmus nach t auflösen

Google mal nach halbertszeit berechnen. Da gibt es 1000 beispiele :) sogar auf youtube

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