Mathe Tangentenanstieg Hilfe!

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3 Antworten

Wenn ich diese Aufgabe lese, gehe ich davon aus, dass ihr die Ableitung schon kennen gelernt habt. Die Ableitungsfunktion.liefert uns immer die Steigung der Ausgangsfunktion. Anders gesagt: Wenn ich f'(x) ausrechne, erfahre ich, welche Steigung f(x) an der Stelle x hat.

Hinweise zu den einzelnen Aufgaben:

  1. g(x) ist eine lineare Funktion, ihre Steigung ist 4 (wg. 4 x+2). Damit die Tangente parallel ist, muss sie ebenfalls die Steigung 4 haben. Du musst also die Stelle x finden, für die gilt f'(x) = 4 (also Ableitung bilden, die gleich 4 setzen, nach x auflösen).

  2. (das zweite 1.) Schnittpunkte mit den Koordinatenachse sind einerseits die Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) und andererseits die Stelle x = 0 (Schnittpunkt mit der y-Achse). Also Nullstellen von f(x) berechnen, diese und 0 in f'(x) einsetzen, Ergebnisse sind die Steigungen an den Stellen.

  3. Wie beim zweiten 1. (nur der Schnittpunkt mit der y-Achse ist nicht gefragt). Die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels, über die Taste tan^-1 auf dem Taschenrechner kann man also den jeweiligen Winkel aus der Steigung ermitteln

  4. Erst mal musst Du die Tangente bestimmen. Dazu ermittelst Du zunächst das y [das ist f(-1)] und dann die Steigung in dem Punkt [das ist f'(-1)]. Aus dem Punkt und der Steigung kannst Du die Geradengleichung der Tangente errechnen (kannst Du Dir aber eigentlich sparen, Du brauchst nur die Steigung). Wenn m die Steigung der Tangente ist, dann hat die Normale die Steigung m' = (-1/m) - das ist bei senkrecht zueinander stehenden Geraden immer so. Außerdem haben die Normale und die Tangente den anfangs ausgerechneten Punkt gemeinsam. Aus diesem Punkt und der Steigung m' kannst Du dann die Geradengleichung der Normalen errechnen.

All das hast Du aber doch wahrscheinlich schon mal im Unterricht gesehen und solltest Du in Deinen Unterlagen oder zumindest im Mathebuch finden können ...

sehr gute Antwort :) danke :)

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Eine Tangente an die differenzierbare Funktion f(x) hat die Gleichung:

t(x) = f(x0) + (x -x0)f'(x0);

dabei ist P(x0 | f(x0) ) der Berührpunkt und die Steigung f'(x0) von t der Wert der Ableitung f' von f in P.

t(x) ist parallel zu g(x), wenn beide Geraden die gleiche Steigung haben. Also lässt sich die x-Koordinate x0 des Berührpunkts mit der Gleichung f'(x0) = 4 bestimmen (warum?).


Eine Funktion hat höchstens einen Schnittpunkt mit der y-Achse (warum?), für

f(x) = x³ -4x² -8x

ist dieser der Koordinatenursprung (warum?). Die restlichen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind solche mit der x-Achse, also weitere Nullstellen, und lassen sich nach Umformung mit der pq-Formel bestimmen. Die gesuchten Anstiege des Graphen sind also der Wert der Ableitungen f' von f im Koordinatenursprung und in den anderen Nullstellen.


(1) Die Parabel f(x) = x² -4 ist achsensymmetrisch zur y-Achse (warum?). Ein gesuchter Winkel sind also Scheitelwinkel zum Spiegelbild des anderen, so dass sich die beiden gesuchten Winkel nur durch das Vorzeichen unterscheiden.

Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse ( = Nullstellen von f) sind Lösungen x1,2 der Gleichung f(x) = 0. Wegen Achsensymmetrie von f unterscheiden die Lösungen sich nur durch das Vorzeichen. Der Tangens eines Schnittwinkels von f mit der x-Achse ist der Wert der Ableitung f' von f in der entsprechenden Nullstelle.

(2) Zum gleichen Ergebnis wie (1) kommst du auch durch die Tatsache, dass die Ableitung einer zur y-Achse symmetrischen Funktion zum Koordinatenursprung punktsymmetrisch ist.


Die y-Koordinate des Punkts P( -1 | y ) lässt sich durch Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung ermitteln. Die Normale ist die Senkrechte zur Tangenten durch deren Berührpunkt. Die Tangentensteigung in P ist der Wert der Ableitung beim x-Wert von P. Das Produkt der Steigungen zweier aufeinander senkrecht stehender linearer Funktionen ist -1.

Hi,

Wie du die Steigung einer Tangenten an einem Punkt ausrechnest weißt du? Die Steigung in x0 ist f '(x0).

1. Ableitung berechnen, gleich 4 setzten - f '(x0)=4 - (da die andere Funktion eine Gerade mit Steigung 4 ist.), nach x0 auflösen und Funktionswert an der Stelle berechnen und mit diesem Punkt die Funktionsvorschrift der Tangenten f(x)=f '(x0)*x+b bestimmen.

2. Funktion 0 setzten - f(x0)=0 - (Schnittpunkt mit der x Achse), nach x0 auflösen, f '(x0) berechnen. Funktionswert in x=0 berechnen - f(0) - (Schnittpunkt mit der y Achse) und f '(0) berechnen.

3. Das gleiche wie in 2 nochmal (Diesmal nur die x-Achse). Winkel ist der arctan(x0).

4. Die Steigung der Normalen ist der negative Kehrwert der Steigung im Punkt P(-1|y). Mit der Steigung und dem Punkt P die Funktionsgleichung wie in 1 bestimmen.

Grüße Cooky

Danke für deine Hilfe. Ich gebe morgen mein Bestes und probiere es. :)

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