Mathe: Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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3 Antworten

A. Sowohl das so Grenzwertkriterium als auch das Folgenkriterium der Stetigkeit (so die häufig zu lesenden Bezeichnungen) findest du in der Wikipedia-Definition der Stetigkeit; auch die dortige Definition der Differenzierbarkeit finde ich recht verständlich.

B. Differenzierbarkeit schließt Stetigkeit ein (aber nicht umgekehrt). Es ist also hinreichend, die Differenzierbarkeit nachzuweisen.

C. Es fehlt eine Angabe dazu, WO die Funktion stetig und differenzierbar sein soll. Mutmaßlich sind alle Stellen des Definitionsbereiches gemeint. Wenngleich selbiges wieder eine dieser typischen mathematisch-besserwisserischen Formalitäten ist (denn bis auf die Stelle x=2 ist die Funktion nach Urschleim-Sätzen ohnehin überall differenzierbar und also auch stetig -> alles cool & easy), würde hier nun doch von interessierter Seite (z.B. so gestrickte(r) Mathelehrer(in)) mit der entsprechenden Spitzzüngigkeit angemerkt werden, dass Mutmaßungen keine Mathematik sind etc. etc. Mithin soll t wohl so gewählt werden, dass f überall differenzierbar (und also auch stetig) ist.

Interessant ist also unter dem Strich:

D. Das "eigentliche" Problem ist ist die Differenzierbarkeit an der Stelle x = 2. Die Funktion ist überall da differenzierbar, wo ihr rechtssseitiger Differentialqotient (im Folgenden rD) mit dem linksseitigen (im Folgenden lD) übereinstimmt. (1)

Der rD ist der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten, entsprechend für den lD. Unter diesen Strichwörtern findest du das in der Wikipedia, wie ich eben nachsah.

Vorgehensweise zur Bestimmung des rD: Die Differenzquotienten, die gegen den rD von f konvergieren, sind mit dem Term der Funktion für x>2 gegeben. Die Funktion

g(x) = -x/(2x²), x aus R

ist an der Stelle x=2 differenzierbar. Also stimmen für x=2 der rD von g und der lD von f überein und sind durch die Ableitung g'(x=2) gegeben.

Vorgehensweise zur Bestimmung des lD: Die Funktion

h_ t(x) = 2 -tx, x aus R

ebenfalls ist an der Stelle x=2 differenzierbar. Der lD von h(x=2) stimmt (mit gleicher Argumentation ) mit dem lD von f(x=x) überein und ist durch die Ableitung h_ t ' (x=2) gegeben. Also bestimmst du die Ableitung und in dieser den Parameter t so, dass (1) erfüllt ist.

psychironiker

Muss bei g(x) ein s im Zähler sein. Also sind zwei Parameter zu bestimmen.

Dein Ansatz ist soweit richtig. Von meiner Darstellung ist vielleicht die Begründung noch lesenswert.

psychironiker

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Es handelt sich um eine stückweise definierte Funktion. Wenn du ihren Graphen auch an der "Flickstelle" x = 2, also dort wo die beiden Stücke zusammenstoßen, ohne abzusetzen zeichnen können willst, dann müssen beide Stücke an dieser Stelle zusammenpassen, ihre Funktionswerte an dieser Stelle müssen also gleich sein.
Daher muss die erste Bestimmungsgleichung lauten:

2 - t x = ( - s / 2 ) * x ²

mit x = 2:

2 - 2 t = ( - s / 2 ) * 2 ²

<=> 2 - 2 t = - 2 s

Dies genügt für die Stetigkeit.

Damit es an der "Flickstelle" aber auch keinen Knick gibt, müssen dort auch die Steigungen beider Stücke gleich sein. Nur dann können die beiden Graphen ohne Knick ineinander übergehen und mithin differenzierbar sein. Die Steigungen aber sind durch die Ableitungen beider Funtionen gegeben. Diese müssen gleichgesetzt werden.
Die zweite Gleichung muss also lauten:

-t = - 2

<=> t = 2

Hier hat man sofort die Lösung für t.
Dies eingesetzt in die erste Bestimmungsgleichung ergibt:

2 - 2 * 2 = - 2 s

<=> - 2 = - 2 s

<=> s = 1

Mit diesen Parametern sehen die Funktionsstücke dann so aus:

http://tinyurl.com/agbsz5j

Bis zur Stelle x = 2 stellt der blaue Graph und ab der Stelle x = 2 der rote Graph die
Funktion f ( x ) dar.

Danke für deine ausführliche Erläuterung. Diesen Gedankengang hatte ich ja oben auch.

Top, alles richtig! :)

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Also ich habe das jetzt mit diesem Ansatz gerechnet:

f 1 (2) = f 2 (2)

2-t* 2 = -s/2 *2^2


f 1 ' (2) = f 2 ' (2)

-t = -2*s

Diese beiden Gleichung dann mit solve in den Taschenrechner. Dazwischen dann ein and und am Ende dann:

t=2 , s=1

herausbekommen. Richtig soweit?

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