MATHE schreibe Mittwoch eine Klausur brauche hilfe bei dieser Vektor Rechnung?

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4 Antworten

Hallo,

wenn Du die Parametergleichung der Ebene hast, zum Beispiel S+s*(D-S)+t*(C-S),

kommst Du leicht auf die Koordinatengleichung, wenn Du das Kreuzprodukt

(D-S)x(D-C) bildest.

Die Koordinaten des Normalenvektors (a/b/c) entsprechen den Parametern der Koordinatengleichung E2: ax+by+cz=d

d bekommst Du heraus, wenn Du für x, y und z einfach irgendeinen Punkt dieser Ebene einsetzt, zum Beispiel Punkt S.

Der Betrag des Kreuzproduktes ist gleichzeitig die Fläche des Parallelogramms,

das SD und SC aufspannen und damit das Doppelte der Fläche des Dreiecks

DCS.

Bei Aufgabe c) mußt Du etwas Arbeit aufwenden.

Der Balken geht von F=(0|0|2) aus und trifft senkrecht auf den Vektor CS=S-C.

Der Schnittpunkt der Senkrechten von F mit dem Vektor CS sei P mit den Koordinaten (x|y|z).

Es muß gelten: (P-F)·(S-C)=0, also (x/y/z-2)·(-2/-1/10)=0

Außerdem liegt P auf der Verbindungslinie CS.

Es muß also ebenfalls gelten:

C+s*(S-C)=P

Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kannst Du s bestimmen.

P=(x/y/z)

C=(2/1/2)

S-C=(0/0/12)-(2/1/2)=(-2/-1/10)

(2/1/2)+s*(-2/-1/10)=(x/y/z)

2-2s=x
1-s=y
2+10s=z

Nun kannst Du x, y und z in der ersten Gleichung durch Terme ersetzen, in denen nur noch s als Variable vorkommt:

(x/y/z-2)·(-2/-1/10)=0

(2-2s/1-s/10s)·(-2/-1/10)=0

(2-2s)*(-2)+(1-s)*(-1)+10s*10=0

105s=5

s=1/21

P=(2/1/2)+(1/21)*(-2/-1/10)=(40/21|20/21|52/21).

Der Betrag von FP=P-F ist dann der gesuchte Abstand.

Herzliche Grüße,

Willy


Die Aufgabe ist so arbeitsaufwendig,daß ich das hier nicht umsonst machen kann.

Buchtipp: "Mathematik" Analytische Geometrie/Stochastik Band 2,Cornelsen Verlag mit Lösungsbuch kostet ca. 45 Euro und bekommt man privat in jeden Buchladen.

Da hast du durchgerechnete Musteraufgaben mit Zeichung und Erklärung.

Da brauchst du nur abschreiben.

a) Dreipunktgleichung der Ebene anwenden

E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

a=D(2/-1/2) ist der Stützvektor (Stützpunkt)

b=C(2/1/2)

c=S(0/0/12)

r und s sind die Ebenenparameter (einfache Zahlen)

eingesetzt

E: x=(2/-1/2)+r*((2/1/2)-(2/-1/2))+s*((0/0/12)-(2/-1/2)

ausgerechnet ergibt das die "Vektorielle Parametergleichung" der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

a Stützvektor

u und v sind die Richtungsvektoren

von dieser Ebenengleichung kommst du auf die "Normalengleichung" der Ebene

E: (x-a)*n=0

Normalenvektor n(nx/ny/nz) am besten mit dem "Vektorpodukt" (Kreusprodukt) ausrechnen

u kreuz v=n

E: (x-(2/-1/2)*n=0

von hier kannst du die "koordinatengleichung" der Ebene berechnen

E: a*x+b*y+c*z+d=0

hier ist n(nx/ny/nz)=(a/b/c)

die Normalengleichung der Ebene brauchst du nur ausmultiplizieren

mit x(x/y/z) und a(ax/ay/az) und n(nx/ny/nz)

sind Skalarprodukte a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

also x*nx+y*ny+z*nz-(ax*nx+ay*ny+az*nz)=0

Die Dreiecksfläche berechnest du mit dem "Vektorprodukt" (Kreuzprodukt)

siehe Mathe-Formelbuch,da ist auch eine Zeichnung zu diesen Thema

a kreuz b=c

Fläche des Dreiecks ist A=1/2*c

Geometrische Deutung des "Kreuzprodukts"

Der Vektor c steht auf den Vektoren a und b senkrecht.Der Betrag von (c) ist gleich den Zahlenwert der Fläche des aus a und b gebildeten Parallelogramms.

Deine Dreieckfläche ist die Hälfte der Fläche vom "Parallelogramm"!

E:

Naja, du machst eigentlich wie überall das Übliche:
Stütz und Richtungsvektoren zusammenbauen und damit die parametergleichung aufstellen.
und die dann zur Koordinatengleichung umformen.
und das ganze halt für beide ebenen machen.

Wenn ich nachfolgend A oder so schreibe, meine ich nicht den Punkt, sondern den zugehörigen Ortsvektor.
Schreibe ich sowas wie AB, meine ich den verbindungsvektor von A nach B.

in dem Fall würde ich nehmen
Stützvektor=A
Richtungsvektor a=D-A
b=B-A
Ausrechnen darfst du selbst.

Parameterdarstellung:
E(s,t)=A+s*a+t*b

um die Koordinatengleichung zu kriegen, schreibst du das Ganze mal schön aus als 3 Gleichungen mit den Unbekannten x,y,z, und s,t.

Die formst du dann so lange hin und her um bis du s und t los geworden bist.

da bleibt dann zwangsläufig eine gleichung übrig, in der (abgesehen von konstanten) nur noch x,y und z vorkommt.
das ist deine koordinatengleichung.

den selben spaß machst du dann noch für die andere ebene.

b) würde ich einfach mal die länge der 3 vektoren, di die seiten des dreiecks bilden, berechnen.
und dann googeln wie man bei nem dreieck mit 3 gegebenen seiten den flächeninhalt ausrechnet.

c) erinnere dich: 2 vektoren sind senkrecht zueinander wenn das skalarprodukt der 2 vektoren gleich 0 ist.
einen vektoren kennst du schon, den von C nach S.

Den anderen musst du noch finden, nennen wir ihn r=(x,y,z).

die koordinaten von CS kennst du ja konkret.

Wenn du einfach mal das Skalaraprodukt
CS*r=0 ausschreibst, kriegst du ne gleichung, die die koordinaten von r erfüllen müssen.
jetzt kannst du bspw. x=y=1 auswählen und das zugehörige z rausfinden.
ergibt dir einen vektor r (alle anderen sind dann nur skalierte versionen davon, die "richtung" des vektors ist immer dieselbe)

wie du dir kurz überlegen kannst, muss es eine gerade gehen, die die richtgung des vektors r hat und auf der der punkt R liegt.

Demnach ist es naheliegend, diese gerade einfach mal durch die folgende parametergleichung darzustellen:
g(s)=R+t*r
also den Ortsvektor des Punktes R als stützvektor und r als Richtungsvektor.

Nun hast du also die durch C und S definierte gerade (nimm einfach g(s)=C+s*CS aus naheliegenden Gründen)
und die dazu senkrechte Gerade g(s)=R+t*r .

Du willst den Schnittpunkt?
einfach beide geraden gleichsetzen, s oder t ausrechnen, in die betreffende geradengleichung einsetzen, Schnittpunkt ablesen.

Kennst du den Schnittpunkt, den ich jetzt mal S nenne, dann ist die Länge des Balkens einfach gleich die Entfernung des Punktes S von R, mathematisch gesprochen der Betrag von SR.

c) funktioniert ähnlich, n ur hast du hier statt wie bei b 2 richtungsvektoren zu denen dein zu findender vektor senkrecht stehen muss.
aus dem vektor und dem gegebenen Punkt wieder ne gerade basteln.
mit der Ebene gleichsetzen um den schnittpunkt rauszufinden.
Die angabe mit den 4 metern länge erscheint mir unnötig und dient wohl nur der verwirrung

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