Mathe Schnittpunkt von zwei graphen bestimmen ohne GTR?

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3 Antworten

Also, dein Ansatz ist schon mal richtig. Die Klammer löst du mit Hilfe der 2. binomischen Formel auf und du darfst natürlich nicht vergessen, dass es eine Minusklammer ist.

x² +1 = -(x-1)² +4
x² +1 = -(x²-2x+1) +4
x² +1 = -x² +2x -1 +4
x² +1 = -x² +2x +3              |+x² -2x -3
2x² -2x -2 = 0                     |:2
x² -x -1 = 0

Jetzt kannst du die pq-Formel raussuchen und entsprechend einsetzen oder mit der quadratischen Ergänzun weiterrechnen:

x² -x +(1/2)² -(1/2)² -1 = 0       |+(1/2)² +1
x² -x +(1/2)² = (1/2)² + 1         | 2. binomische Formel anwenden
(x -1/2)² = 5/4                         |√()
x -1/2 = ±√(5/4)
x₁ -1/2 = √(5)/2     und     x₂ -1/2 = -√(5)/2
x₁ = 1/2 +√(5)/2     und     x₂ = 1/2 -√(5)/2
x₁ ≈ 1,62     und     x₂ ≈ -0,62

Die y-Werte bekommst du dann durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen.

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Kommentar von Schulabfrager11
17.01.2016, 17:25

Oha ich danke dir! Sehr ausführlich und gut erklärt ich habe es endlich verstanden. :)

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Also sei nun:

f(x) = x^2 + 1   und   g(x) = -(x-1)^2 + 4

Es gilt in einem Schnittpunkt:

f(x) = g(x)  

x^2 + 1 = -(x-1)^2 + 4    Ausmultiplizieren

x^2  + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 4

x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 3  II - (x^2 + 1)

0 = -2x^2 + 2x + 2  Ausklammern von (-2):

0 = (-2)( x^2 - x - 1) 

"Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist."

--->    0 = x^2 - x - 1  II pq-Formel :   p = -1   und   q = -1

x(1|2) = 0.5 +/- (0.25 + 1)^(1/2)   [ (...)^1/2 = Quadratwurzel ]

Also:

x(1) = ( 1 + 5)/2      und     x(2) = (1 - 5)/2

Und nun um die Schnittpunkte auszurechnen einfach die jeweiligen x-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzen, dabei gilt:

S_1 = ( x(1) |  f(x(1)) ) 

S_2 = ( x(2) | f(x(2)) )

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Kommentar von Schulabfrager11
17.01.2016, 17:35

Habe es jetzt hingekriegt danke für deine Antwort ! :)

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-(x-1)^2 = -(x^2-2x+1) = -x^2+2x-1

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Kommentar von Schulabfrager11
17.01.2016, 17:15

Irre ich mich oder ich das eine binomische Formel :D ?

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Kommentar von mk2112
17.01.2016, 17:16

Nein, da liegst du ganz richtig. Die musst du anwenden um nach x auflösen zu können. ^^

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Kommentar von mk2112
17.01.2016, 17:21

Kein Problem :-)

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