Wie forme ich die Parabel in die Scheitelpunktform um?

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5 Antworten

y = -x² +0,5x + 1,5        Man braucht einen binomfähigen Term mit + vorne in der
                                    Klammer
y = - (x² - 0,5x + .... ) ... .... +1,5
Diese Lücken müssen sein, damit man unterwegs quadratisch ergänzen kann. Ein Binom ist so aufgebaut, dass du das Mittelglied (hier mit x) halbierst und quadrierst: das ist dann 0,5/2 = 0,25
dieses quadriert 0,25² = 0,0625
Diese Zahl bringt man so in die obige Gleichung ein, dass das, was man in der Klammer dazutut, dahinter wieder abgezogen wird. Da wir aber ein Minus vor der Klammer haben, wird 0,25² in Wirklichkeit abgezogen, muss also dahinter wieder addiert werden. Wenn du das in die Gleichung einfügst, sind die Lücken weg, und keiner sieht, wie du es gemacht hast. So nämlich:

y = - (x² - 0,5x + 0,25² ) + 0,0625 +1,5   | Binom erstellen, zusammenfassen
y = - (x - 0,25)² + 1,5625

Das ist die Scheitelpunktform, wobei x noch umzudrehen ist:

S ( +0,25 | +1,5625 )

Man kann hier auch noch sehen, dass es eine nach unten offene Normalparabel ist, falls ihr darüber gesprochen habt, aber eben verschoben.

y = -x² + 1/2x + 3/2

Statt -1x² kannst Du auch einfach -x² schreiben.

Außerdem habe ich die 0,5 und 1,5 in Brüche umgewandelt.

Die Scheitelpunktform kannst Du mit der quadratischen Ergänzung bestimmen.

f(x) = -x² + 1/2x + 3/2

Damit das Minus vor dem x verschwindet, teilst Du alle Werte durch -1

-f(x) = x² - 1/2x - 3/2

Nun erfolgt die quadratische Ergänzung + (p/2)²

-f(x) = x² - 1/2x + 1/16 - 1/16 - 3/2

Das ganze wird dann mit der binomischen Formel faktorisiert und Du erhältst

-f(x) = (x - 1/4)² - 25/16

Jetzt musst Du alles nochmal mit -1 multiplizieren, damit das - wegfällt.

Somit erhältst Du also f(x) = -(x - 1/4)² + 25/16

Anhand dieser Gleichung, kannst Du nun ganz einfach die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen.

S(1/4 | 25/16)

Nun kannst Du anhand des Scheitelpunkts die Scheitelpunktform bestimmen.

Du orientierst dich dafür an dieser Gleichung:

f(x) = (x - d)² + e

Außerdem gilt S(-d | e)

Die Scheitelpunktform lautet also:

f(x) = (x - 1/4) | 25/16)

du sollst die Gleichung y=-1x^2+0,5x+1,5 aus die Normalform (ax^2+bx+c) in die Scheitelpunktform (y=a(x-c)^2+d) umformen. Das kannst du z.B. durch quadratische Ergänzung machen.

Das kannst du verallgemeinern -->

y = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v lassen sich aus a und b berechnen -->

u = -b / (2 * a)

v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Auf deine Aufgabe angewendet -->

a = -1 und b = 0.5 und c = 1.5

u = -0.5 / /2 * (-1)) = 0.25 = (1 / 4)

v = (4 * -1 * 1.5 - 0.5 ^ 2) / (4 * -1) = 1.5625 = 25 / 16

y = - x ^ 2 + 0.5 * x + 1.5 = - (x - 1 / 4) ^ 2 + 25 / 16

hier mal gucken?

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