Mathe Logarithmus Gleichungen lösen?

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Hier der Link zu einer Seite auf der alle Rechengesetze und für dich relevanten Eigenschaften des Logarithmus zusammengefasst sind:

https://www.formelsammlung-mathe.de/logarithmus.html


Verdeutlicht an einem Beispiel:

Seien die beiden Funktion f und g, mit :

f(x) = log_a( bx + c) + d

g(x) = log_q( hx + j) + k  

mit Konstanten a, b, c, d, q, h, j, k welche alle so gewählt sind, dass es Sinn macht; gegeben.

Gesucht sei nun die Schnittstelle beider Funktion x_s, bei der gilt:

f(x) = g(x)

-->  log_a( bx + c) + d = log_q( hx + j) + k 

--> log_a( bx + c) + (d - k) = log_q( hx + j)

--> ln(bx + c)/ln(a) + (d - k) = ln(hx + j)/ln(q)

--> ln(bx + c) + (d - k)*ln(a) = ln(hx + j) *(ln(a)/ln(q))

--> ln(bx + c) + ln(a^(d - k)) = ln( (hx + j)^(ln(a)/ln(q)) )

--> ln( (bx + c)*a^(d - k) ) = ln( (hx + j)^(ln(a)/ln(q)) )

--> 0 = ln( (hx + j)^(ln(a)/ln(q)) ) - ln( (bx + c)*a^(d - k) )

--> 0 = ln( [(hx + j)^(ln(a)/ln(q))]/[(bx + c)*a^(d - k)] )

Mit ln(x) = 0  genau dann, und nur dann, falls x = 1

--> [(hx + j)^(ln(a)/ln(q))]/[(bx + c)*a^(d - k)]  = 1

--> (hx + j)^(ln(a)/ln(q)) = (bx + c)*a^(d - k)


Diese Gleichung kann für ln(a)/ln(q) aus {0, 1, 2} sehr einfach mit bekannten Methoden gelöst werden, da sich das Problem in das Finden der Nullstelle von Polynomen des Grades 0, 1, 2 wandelt. Für andere Werte ist diese Gleichung in den meisten Fällen nicht so einfach zu lösen.

Betrachtet man deine Gleichung:

log_2(x + 2)=log_2(a - x) + 2

So sieht man recht schnell durch Koeffizientenvergleich mit obiger allgemeinen Formulierung:

a = 2 ; b = 1 ;   c = 2 ; d = 0

q = 2 ; h = -1 ;  j = a  ; k = 2

Einsetzen in die Lösung liefert uns:

--> (a - x)^(ln(2)/ln(2)) = (x + 2)*2^(0 - 2)

--> (a - x) = (x + 2)/4

--> (a - 1/2)*(4/5) = x

Also lautet die Lösung dieser Gleichung:

x = (4a - 2)/5

Dieses wurde auch nochmal von Wolfram-Alpha bestätigt: (siehe Link und dann unter Solution (Engl. für Lösung)):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log_2(x+%2B+2)%3Dlog_2(a+-+x)+%2B+2

Wenn du auf beiden Seiten zwei Logarithmen zu verschiedenen Basen stehen hast, würde ich umformen nach folgender Regel:

                   ln(b)
logₐ(b) = ————
                   ln(a)

Alternativ kannst du rechts auch jeden anderen Logarithmus zu einer beliebigen Basis verwenden, das ist egal.

Und dann kannst du die entstandene Bruchgleichung durch über Kreuz multiplizieren einfach nach der Variable auflösen.

Du wirst sehen, da gibt es einige Besonderheiten. ;-)

LG Willibergi

siehe Mathe-Formelbuch "Logarithmengesetze"

Beispiel : 10^3=1000 logarithmiert   3=log(1000)

Hier ist die Basis 10 ,deshalb ergibt sich auf der linken Seite die 3

weil der Logarithmus log die basis 10 hat.

mit der Basis e=2,7...    e^3=20,08.. logarithmiert 3=ln(20,08..)

Beispiel : 4^3=64 logarithmiert log(4^3)=log(64) ergibt

3*log(4)=log(64) ergibt 3=log(64)/log(4)

oder mit 3=ln(64)/ln(4) siehe Mathe Formelbuch log(a^x)=x*log(a)

Merke : 10^0=1 also ist log(1)=0 und ln(1)=0

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