Mathe Limes

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4 Antworten

da setzt du einfach 5 fürs x ein; 3 * 5² - 4 * 5 - 1 und rechnest aus

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A. Mit Ellejolkas Rechnung lässt sich der Funktionswert der Funktion

f(x) = 3x² -4x -1

für x0 = 5 bestimmen. Dieser ist f(x0) = 54 (Kopfrechnung). Die Grenzwertsätze zeigen, dass f(x) eine stetige Funktion ist. Deswegen ist der Funktionswert von x0 = 5 auch der Grenzwert lim f(x) für x → x0 = 5.

Wenn du die Grenzwertsätze kennst, ist die Aufgabe damit gelöst. Wenn du sie aber (noch) nicht kennst, musst du beweisen, dass es sich bei dem Funktionswert tatsächlich um einen Grenzwert handelt. Das geht mit der

Definition: Eine Funktion f: R → R, x → f(x) hat für x → x0 genau dann den Grenzwert a, wenn es für beliebig vorgegebenes ε > 0 ein δ > 0 so gibt, dass folgende Schließung gilt:

Aus x0 - δ < x < x0 + δ folgt a - ε < f(x) < a + ε, in Worten:

Für alle x-Werte aus einer δ-Umgebung von x0 liegt der jeweils zugehörige Funktionswert f(x) in einer ε-Umgebung von a.

Durchführung:


B. Vorüberlegungen:

  • Da eine kleinere ε-Umgebung von f(5) in einer größeren enthalten ist, ist die Betrachtung von ε < 1 hinreichend (1).

Genereller Tipp: Das Problem bei Grenzwert-Rechnungen mit ε sind immer die kleinen ε (nicht die großen), weil eine Überlegung wie (1) ganz allgemein funktioniert.

  • Die Parabel

f(x) = 3x² -4x -1

ergibt (mit Formel d = -b/(2a), e = c - b²/(4a)) die Scheitelform:

f(x) = 3(x - 2/3)² -7/3

f ist nach oben geöffent hat also einen Scheitel bei ( 2/3 | -7/3). Also ist f in einer geeigneten Umgebung U von x0 = 5 > 2/3 streng monoton steigend.


C. Rechnung:

  • Berechne einen x-Wert für

3x² -4x -1 = 54 + ε,

3x² - 4x -55 -ε = 0;

die abc-Formel und Vereinfachen ergibt die positive Lösung:

x1 = (2 + √(169 -3 ε)) / 3 .

Bestimme dann δ1 für

x1 = 5 + δ1 → δ1 = (√(169+3 ε)-13) / 3 ;

wegen √169 = 13 existiert ein solches δ1 > 0 für beliebiges ε > 0.

Tipp: Bei Ausdrücken mit einer Wurzel ist wichtig, das festzuhalten, denn es könnte ja sein, dass der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird. Außerdem und unabhängig davon muss noch δ1 > 0 sein; das kann auch bei definierter Wurzel schiefgehen.

  • Berechne auch einen x-Wert für:

3x² -4x -1 = 54 - ε

3x² - 4x -55 +ε = 0;

die abc-Formel und Vereinfachen ergibt hier die positive Lösung:

x2 = (2 + √(169 -3 ε)) / 3

Bestimme dann δ2 für

x2 = 5 - δ2 → δ2 = (13 -√(169-3 ε))/3

(1) zeigt, dass 0 < ε < 1 zusätzlich vorausgesetzt werden kann. (Sonst gäbe es für ε > 169/3 Probleme.) Das garantiert, dass (trotz Wurzel) auch ein solches δ2 > 0 ebenfalls für alle zu betrachtenden ε existiert.


D. Argumentation:

Sei ε' > 0 vorgegeben. Ist ε' ≥ 1, so kann wegen (1) kann ein ε < 1 betrachtet werden.

Wähle als δ die kleinere der beiden Zahlen δ1 und δ2, so dass gilt: δ ≤ δ1 und δ ≤ δ2

  • Dann ist 5 + δ ≤ 5 + δ1 = x1,

und für die x < 5 + δ aus U gilt wegen streng monotonen Wachstums von f :

f(x) < f(5 + δ) ≤ f(5 + δ1) = f(x1) = 54 +ε;

  • außerdem ist δ ≤ δ2 ⇔ 5 -δ ≥ 5 -δ2 = x2,

und für die x > 5 - δ aus U gilt wegen streng monotonen Wachstums von f außerdem:

f(x) > f(5 - δ) ≥ f(5 -δ2) = f(x2) = 54 - ε,

q.e.d.

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Hi,

der Limes ist eine Grenzwertbetrachtung. Du schaust was mit deiner Funktion passiert, wenn du x gegen 5 laufen lässt. In diesem Fall ist das kein Problem, weil du 5 in deine Funktion einsetzen darfst. Das kannst du wie gewohnt ausrechnen.

Es gibt aber Funktionen, bei denen geht das nicht so gut. Wir betrachten die Funktion

1 / (x - 5)

Wenn ich jetzt 5 für x einsetze, kommt null raus. Aber durch null darf ich nicht teilen. Also betrachte ich die Funktion ganz nahe an 5 und gehe immer etwas näher heran. In diesem Beispiele wäre

lim ( x - > 5) 1 / (x - 5) = unendlich.

Das man den Wert (hier die 5) in eine Funktion einsetzen kann, bedeutet, dass die Funktion in diesem Punkt stetig ist.

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kreisfoermig 28.08.2013, 12:46

Das man den Wert (hier die 5) in eine Funktion einsetzen kann, bedeutet, dass die Funktion in diesem Punkt stetig ist.

Ich sehe die Sache nicht so. Hier geht es nicht unbedingt darum, ob eine Funktion beim Grenzwert definiert ist. Sondern, ob sie bei diesem Punkt stetig ist.

Ein Beispiel:

  • f : x |—> 3x² – 4x – 1 falls x ≠ 5
    • x |—> 0 falls x = 5.

Hier existiert Lim [x —> 5] f(x), doch ist nicht gleich f(5), nicht weil f bei 5 nicht definiert ist, sondern weil sie einfach da nicht stetig ist.

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EnteWurzel 28.08.2013, 12:54
@kreisfoermig

Tatsächlich habe ich etwas geschlammpt. Aber ich wollte auch niemanden verwirren und habe als Funktionen gebrochen rationale Polynome vorausgesetzt. Dort tritt das von dir beschriebene Problem nicht auf.

Genauer ist eine Funktion in einem Punkt stetig, wenn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert mit dem Funktionswert übereinstimmen.

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Allgemeiner:

  • Wenn eine Abbildung, f, bei x₀ stetig ist, was allerdings für ein Polynom gilt,
  • ist Lim x —>x₀ von f(x) = f(x₀).

In der Tat, der letzte Satzteil bedeutet genau, dass die Funktion bei genanntem Punkt stetig ist.

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