Mathe Leistungkurs Klasse 11 -Kursarbeit .. Dringend!

...komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Ich versuche auch, ob ich deinen Weg nicht einfach vervollständigen kann.

A1 = ∫ tx - x² dx =

tx²/2 - x³/3 | 0; t-1 =

t(t-1)²/2 - (t-1)³/3 =

(t-1)² (t/2 - (t-1)/3) =

(t -1)² (t +2) / 6

das ist nicht deine Lösung. - Aber mit dieser Lösung geht es auch weiter, denn die Fläche zwischen x-Achse und y = x von 0 bis t-1 ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieick, dessen Fläche sich leicht mit

A2 = (t-1)² / 2

angeben läst. - Nun soll gelten:

A1 /2 = A2

( (t -1)² (t +2) / 6 ) / 2 = (t-1)² / 2

(t -1)² (t +2) / 6 = (t-1)²

(t -1)² (t -4) / 6 = 0;

diese Gleichung ergibt die bereits angegebenen Lösungen (und ist jedenfalls nicht komplizierter als der zuvor angegebene Weg).

f(x) = -x² + tx

g(x) = x

Differenzenfunktion:

d(x) = f(x) - g(x) = -x² +(t-1)x = x(-x +t -1)

Nullstellen der Differenzenfunktion = Schnittpunkte von f und g = Integralgrenzen:

x1 = 0, x2 = t -1

Soweit wie bei dir.


Ich würde so weitermachen:

| ∫ d(x) dx | = 1/2 | ∫ f(x) dx | für die Integralgrenzen 0, t-1;

da beide Integrale positiv sind (Skizze):

∫ d(x) dx = 1/2 ∫ f(x) dx ;

2 ∫ d(x) dx - ∫ f(x) dx = 0

Linearität des integrals nutzen (da die Grenzen übereinstimmen):

∫ 2d(x) - f(x) dx = 0

∫ 2( f(x) - g(x) ) - f(x) dx = 0

∫ f(x) - 2 g(x) dx = 0

∫ -x² +tx -2x dx = 0

∫ -x² +(t-2)x dx = 0


Der Rest nach "Schema F"; interessant vielleicht die Fallunterscheidung:

-x³/3 + (t-2)x²/2 | (0; t-1) = 0

-(t-1)³/3 + (t-2)(t-1)²/2 = 0 ;

Fall 1: (t-1)² = 0 ⇒ t1 = 1

Geometrisch trivial, denn der Inhalt der halbierten Fläche ist 0.

Fall 2: (t-1)² ≠ 0; nach Division:

-(t-1)/3 + (t-2)/2 = 0 ⇒ t2 = 4

(geometrisch anschauliche Lösung)

Was möchtest Du wissen?