Mathe Klausur: Berührpunkt einer Tangente an Parabeln bestimmen

2 Antworten

Ganz allgemein gilt immer: die Tangente hat einen Berührungspunkt mit der Parabel, in dem beide die gleiche Steigung haben.

Der erster Schritt muss sein, die Berührungsstelle zu finden. Wir suchen also eine Stelle der Parabel, wo ihre Steigung gleich der Tangentensteigung ist, also drei. Die Steigung erhalten wir durch die erste Ableitung: f '(x)=-4x. Diese müssen wir mit 3 gleichsetzen: -4x=3 --> x=-0,75. Also ist die Stelle der Berührung bei x=-0,75.

Da wir aber keine Stelle, sondern einen Punkt haben wollen, brauchen wir noch einen y-Wert. Diesen erhalten wir indem wir die Stelle in die Ausgangsfunktion einsetzen: f(-0,75)=-1,125. Der Berührungspunkt hat somit die Koordinaten B(-0,75/-1,125)

Vielen Dank, so verstehe ich das ganze. In meinem Buch steht nicht mal was von der ersten Ableitung bei dem Thema...

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Es geht leider auch fieser, wenn du nämlich nur irgendeinen Punkt der Tangente gegeben hast (der nicht der Berührpunkt ist). Was, wenn das drankommt? Dann funktioniert der sehr praktische Weg mit der Ableitung nicht.


Beispiel: Wo berühren Tangenten, dien den Punkt (-1/2 | -3/8) enthalten, die Parabel f(x) = -2x² ?

Lösung: Eine Gerade

g(x) = m x + b

enthält den gegebenen Punkt, wenn gilt:

-3/8 = m (-1/2) + b ⇔ b = -3/8 + m/2;

sie halt also mit nur einer Variable die Form

g(x) = m x -3/8 + m/2 ; (1)

Für alle gemeinsamen Punkte von g(x) mt der gegebenen Parabel gilt f(x) = g(x):

-2x² = m x -3/8 + m/2;

-2x² - mx - m/2 + 3/8 = 0.

Mit abc-Fomel ist das bei

x1,2 = (+ m ± √ ( m² -4m +3 ) ) / (-4). (2)

IDEE: Es kann aber nur einen gemeinsamen Punkt gegeben, wenn die Gerade eine Tangente ist. Also muss der Ausdruck unter der Wurzel (namens Diskriminante) = 0 sein:

m² - 4m +3 = 0; mit pq-Formel oder dem Satz von Vieta:

(m -3)(m -1) = 0

Es gibt also "rein zufällig" ( ;) ) eine Tangente mit der Steigung m1 = 3 und eine weitere mit der Steigung m2 = 1, die diesen Punkt enthalten. - Mit (1) sind die vollständigen Gleichungen:

t1(x) = m1x -3/8 + m1/2 = 3x + 9/8 (die könnte dir bekannt vorkommen) sowie

t2(x) = m2x -3/8 + m2/2 = x + 1/8

Die x-Werte der Berührpunkte bekommst du durch Einsetzen von m1, m2 in (2) (wobei die Wurzel wegfällt), die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen in die jeweilige Tangentengleichung. Also sind die gesuchten Berührpunkte

B1 (-3/4 | -9/8) (kommt dir bekannt vor) sowie B2 (-1/4 | -1/8)

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