Mathe integrieren von Verkettung bzw Klammer?

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1 Antwort

Also betrachte folgendes Integral:

I = Int{ (1 + (9/(4a^2))x^(1/4) )^(1/2) }dx

Zunächst substituieren wir:

u = (3/(2a))*x^(1/8)

sei nun zur besseren Lesbarkeit k = (3/(2a))

damit folgt:

du/dx = k*(1/8) *x^(-7/8)

mit   x^(-7/8) = (u/k)^(-7)

--> du/dx = k^(8)*u^(-7)/8 = 1/(8*k^(-8)*u^7)

Somit folgt durch Substitution:

--> Int{ (1 + u^2)^(1/2)*8*k^(-8)*u^7}du

Wir substituieren nochmals:

u = sinh(z) ---> du/dz = cosh(z)

beachte 1 + sinh^2(z) = cosh^2(z)   (*)

--> Int{ (1 + sinh^2(z))^(1/2)*8*k^(-8)*sinh^7(z)*cosh(z)}dz

mit (*) folgt dann:

--> Int{ cosh(z)*8*k^(-8)*sinh^7(z)*cosh(z)}dz

und erneutes Anwenden von (*) liefert uns dann:

--> Int{ (1 + sinh^2(z))*8*k^(-8)*sinh^7(z)}dz

wir schreiben nun   g =  8*k^(-8)  

--> g*Int{ sinh^7(z) + sinh^9(z) }dz

Wir benutzen nun die Rekursionsformel (einfache partielle Integration):

Int{ sinh^n(z) }dz = cosh(z)*sinh^(n-1)(z)/n - Int{ sinh^(n - 2)(z)}dz

Damit folgt also:

Wir sehen damit sofort:

g*Int{ sinh^7(z) + sinh^9(z) }dz = g*( cosh(z)*sinh^8(z)/9 +1/9*Int{sinh^7(z)}dz)

Wir erhalten damit also ingesamt :

= g*cosh(z)*(sinh^8(z)/9 + 1/9*(sinh^6(z)/7 - 6/7(sinh^4(z)/5 - 4/5(sinh^2(z) - 2/3)))) + const.

Wir resubstituieren nun wieder. Es folgt aus u = sinh(z)

-> z = arsinh(u)   benutze (*) und erhalte cosh(z) = ( 1 + sinh^2(z))^(1/2)

Es folgt also:

= g*( 1 + u^2)^(1/2)*(u^(8)/9 + 1/9*(u^(6)/7 - 6/7(u^(4)/5 - 4/5(u^(2) - 2/3)))) + const.

Erneutes resubstituieren mit u = k*x^(1/8)  liefert schließlich:

= g*( 1 + k^2*x^(1/4))^(1/2)*(k^8*x/9 + 1/9*(k^6*x^(3/4)/7 - 6/7(k^4*u^(1/2)/5 - 4/5(k^2*x^(1/4) - 2/3)))) + const.

Wir setzen schließlich noch k = (3/(2a))  und g = 8*k^(-8) = 8*(3/(2a))^(-8)

= 8*(3/(2a))^(-8) *(1 + (3/(2a))^2*x^(1/4))^(1/2)*[ (3/(2a))^8*x/9 + 1/9*[ (3/(2a))^6*x^(3/4)/7 - 6/7*[ (3/(2a))^4*x^(1/2)/5 - 4/5*[(3/(2a))^2*x^(1/4) - 2/3]]]] + const

Hier mal in Wolfram Alpha dargestellt (unter Alternate Forms gibt es ein paar schönere Varianten und Schreibweisen):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*(3%2F(2a))%5E(-8)+*(1+%2B+(3%2F(2a))%5E2*x%5E(1%2F4))%5E(1%2F2)*%5B+(3%2F(2a))%5E8*x%2F9+%2B+1%2F9*%5B+(3%2F(2a))%5E6*x%5E(3%2F4)%2F7+-+6%2F7*%5B+(3%2F(2a))%5E4*x%5E(1%2F2)%2F5+-+4%2F5*%5B(3%2F(2a))%5E2*x%5E(1%2F4)+-+2%2F3%5D%5D%5D%5D

Das wäre dann die Stammfunktion, du musst dann nur noch die Integrationsgrenzen einsetzen und fertig.

Hier zur Überprüfung das meine Rechnung korrekt is (ist die gleiche Antwort)t:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral(+(1+%2B+(9*x%5E(1%2F4)%2F(4a%5E2)))%5E(1%2F2)dx)

Falls noch nicht bekannt, es gilt:

cosh(z) = (e^(z) + e^(-z))/2    , "Sinus-Hyperbolicus"

sinh(z) = (e^(z) - e^(-z))/2      , "Cosinus-Hyperbolicus"

Man rechnet dabei schnell den hyperbolischen Pythagoras nach:

cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1

Ebenso folgt daraus schnell:

(cosh(z))´ = sinh(z)

(sinh(z))´ = cosh(z)

0

Wenn du die Grenzen einsetzt folgt:

F(0) = - 32768a^8/2066715

F(10) = 8*(3/(2a))^(-8) *(1 + (3/(2a))^2*10^(1/4))^(1/2)*[ (3/(2a))^8*10/9 + 1/9*[ (3/(2a))^6*10^(3/4)/7 - 6/7*[ (3/(2a))^4*10^(1/2)/5 - 4/5*[(3/(2a))^2*10^(1/4) - 2/3]]]]

(siehe Link)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*(3%2F(2a))%5E(-8)+*(1+%2B+(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4))%5E(1%2F2)*%5B+(3%2F(2a))%5E8*10%2F9+%2B+1%2F9*%5B+(3%2F(2a))%5E6*10%5E(3%2F4)%2F7+-+6%2F7*%5B+(3%2F(2a))%5E4*10%5E(1%2F2)%2F5+-+4%2F5*%5B(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4)+-+2%2F3%5D%5D%5D%5D

Damit gilt also:

Int(0, 10){ (1 + (9/(4a^2))x^(1/4) )^(1/2) }dx = F(10) - F(0)

= 8*(3/(2a))^(-8) *(1 + (3/(2a))^2*10^(1/4))^(1/2)*[ (3/(2a))^8*10/9 + 1/9*[ (3/(2a))^6*10^(3/4)/7 - 6/7*[ (3/(2a))^4*10^(1/2)/5 - 4/5*[(3/(2a))^2*10^(1/4) - 2/3]]]] - (- 32768a^8/2066715)

Und damit das gesamte Ergebnis (link):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*(3%2F(2a))%5E(-8)+*(1+%2B+(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4))%5E(1%2F2)*%5B+(3%2F(2a))%5E8*10%2F9+%2B+1%2F9*%5B+(3%2F(2a))%5E6*10%5E(3%2F4)%2F7+-+6%2F7*%5B+(3%2F(2a))%5E4*10%5E(1%2F2)%2F5+-+4%2F5*%5B(3%2F(2a))%5E2*10%5E(1%2F4)+-+2%2F3%5D%5D%5D%5D+-+(-+32768a%5E8%2F2066715)

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