Mathe Hilfe (vektoren)?

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4 Antworten

Hallo,

der Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich der Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt zweier Seiten.

Du kannst beispielsweise die Vektoren B-A und C-A bilden, die den Dreieckseiten c und b entsprechen.

B-A=(-3|-2|-2)-(1|2|3)=(-4|-4|-5)

C-A=(1|3|-4)-(1|2|3)=(0|1|-7)

(-4|-4|-5)x(0|1|-7)=(33|-28|-4)

Der Betrag davon ist die Wurzel aus (33²+28²+4²)=43,46, davon die Hälfte ist 21,73 FE

Herzliche Grüße,

Willy

Dankeschön für ihre ausführliche Antwort! 

Als ich jedoch das ganze bei b) angewendet habe kam das was von -524 FE raus.

Das kann doch nicht stimmen oder?

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@Kyrili

Da mußt Du Dich verrechnet haben.

Ich habe es für die Vektoren AB und AC sowie für BA und BC durchgerechnet und bin in beiden Fällen auf die gleiche Fläche gekommen (was nicht weiter erstaunlich ist, da es sich schließlich um dasselbe Dreieck handelt).

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@Willy1729

Oh, entschuldigen sie.

Ich meinte die Aufgabe a) die ich hier gar nicht reingestellt hatte.

Verzeihung, meine Schuld :)

A ( -1 | 2 | 0 )          B ( 1 | 2 | 4 )           C ( -1 |-3 | 5 )

 

VonA zu B: -1 zu 1 = 2;    2 zu 2 = 0;    0 zu 4 = 4

VonA zu C: -1 zu -1 = 0;   2 zu -3 = -5;   0 zu 5 = 5

VonB zu C: 1 zu -1 = -2;   2 zu -3 = -5;  4 zu 5 = 1

 

AB= ( 2 | 0 | 4 )      => | AB |

AC= ( 0 | -5 | 5 )     => | AC |

BC = ( -2 | -5 | 1 )    => | BC |

 

| AB | =  =  4,47LE

| AC | =  =  7,07LE

Das sind meine ergebnisse bei a) und da kam dann leider -524 raus 

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@Willy1729

Weißt Du denn überhaupt, wie man das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnet?

(a/b/c)x(x/y/z)=(bz-cy/cx-az/ay-bx)

Beispiel:

(1/-2/2)x(3/-1/4)=((-2*4)-(2*(-1)/2*3-(1*4)/1*(-1)-(-2*3))=

(-6/2/5)

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@Willy1729

Hmmm weiß nicht ob ich richtig liege..

Habe jezz für am Ende  (0/0/4) * (0/-5/5) = (0/0/20)

und ich glaube diese rechnung stimmt nicht aber die Daten schon.

Was habe ich falsch gemacht? :/

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@Willy1729

Bei der Aufgabe gehst Du auch am einfachsten über das Kreuzprodukt.

Du bildest zwei Vektoren, die vom gleichen Punkt des Dreiecks ausgehen, z.B. von Punkt A. Das sind dann die Vektoren AB und AC, also B-A und C-A, nämlich (2/0/4) (hast Du auch) und 
(0/-5/5) (auch richtig).

Jetzt bildest Du ABxAC=(2/0/4)x(0/-5/5)=(20/-10/10)

Daraus der Betrag ist die Wurzel aus (400+100+100) also die Wurzel aus 600=24,49, davon die Hälfte ergibt 12,245 FE

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@Kyrili

also wie sind sie hier

(-4|-4|-5)x(0|1|-7)=(33|-28|-4)

auf das ergebnis gekommen?

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@Kyrili

Ich habe doch im Kommentar geschrieben, wie ein Kreuzprodukt berechnet wird. Das darfst Du nicht mit dem Skalarprodukt verwechseln. Das Skalarprodukt ist eine Zahl, das Kreuzprodukt ein Vektor.

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@Willy1729

Wenn Du die beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt Du bilden willst, nebeneinanderstehen hast, multiplizierst Du die mittlere Koordinate des linken mit der unteren Koordinate des rechten Vektors, davon ziehst Du das Produkt aus der unteren des linken und der mittleren des rechten ab; Du arbeitest über Kreuz, deshalb Kreuzprodukt. Das Ergebnis ist die oberste Koordinate des Kreuzvektors.

Nun multiplizierst Du die unterste Koordinate des linken mit der obersten des rechten Vektors und ziehst davon das Produkt aus der obersten des linken und der untersten des rechten Vektors ab. Das ist die mittlere Koordinate des Kreuzvektors.

Zum Schluß multiplizierst Du die oberste Koordinate des linken Vektors mit der mittleren des rechten und ziehst davon wieder das Produkt aus der mittleren des linken und der obersten des rechten Vektors ab. So bekommst Du die letzte Koordinate des Kreuzvektors. Der Betrag dieses Vektors ist die Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Hälfte davon ist dann logischerweise die Dreiecksfläche.

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@Willy1729

Okay das scheint auch mit der Lösung meiner Mitschüler übereinzustimmen, danke vielmals!

Aber eine Frage hätte ich dann noch, und zwar wie sind Sie bei zB 

(2/0/4)x(0/-5/5)=(20/-10/10) auf das Ergebnis gekommen? (zb sind 2*0 doch 0 und nicht 20 oder bin ich zu blöd? :D 

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@Kyrili

0*5-(4*(-5))=0-(-20)=20

Du ziehst immer zwei Produkte voneinander ab.

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@Willy1729

Ahh okay super danke und schönen Abend/Nacht noch! :)

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Deine Rechnungen stimmen soweit.

Die Formel für die Dreiecksfläche stimmt nur für rechtwinkelige Dreiecke, bei denen der Rechte Winkel zwischen AB un AC ist. Der Nachweis dafür fehlt noch (ich habe jetzt nicht überprüft, ob da einer ist)

Danke für ihre Antwort!

Und kann man die Formel so umändern das sie auf diese Aufgabe anwendbar ist? 

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@Kyrili

Man müsste schon wissen, was ihr schon so kennt. Winkelfunktionen? Kreuzprodukt? Welche Klassenstufe, welches Vorwissen? 

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Nö, da ist keiner :-)

Die drei Seitenquadrate sind 

|AB|²  = 57

|AC|²  = 50

|BC|² = 45

Kein Pythagoras, kein rechter Winkel. 

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@FataMorgana2010

Okay, und haben Sie eine Idee welche Formal man hier benutzen könnte?

Bin Klasse 13, habe aber nur Grundkurs und nicht viel Vorwissen :D

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@Kyrili

Du brauchst die Höhe über einer Seite.
Du kannst das Dereieck in 2 Rechtwinkelige Dreiecke zerlegen, indem du sie einer Höhe entlang durchschneidest.
Einen Rechten WInkel hast du dann zwischen Höhe und einer Teilstrecke einer Seite. Um die Teilstrecke herauszufinden, kannst du das Skalarprodukt anwenden.

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https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/flaecheninhalt-eines-dreiecks

hier findest du ne Formel AD , mit der du schnell durch einsetzen der Punkte den Flächeninhalt berechnen kannst

Danke für ihre Hilfe, aber welche dieser Formeln wäre es denn eigentlich genau?

Meiner Meinung nach treffen da mehrere zu oder nicht?

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@Kyrili

die vereinfachte Form

AD = 1/2[xA(yB - yC) + .................

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@Ellejolka

Ahh okay, Dankeschön

Und dann muss ich für A B und C nur die einzelen Werte die schon gegeben waren einsetzen oder die ausgerechneten?

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