Mathe; Grenzwerte. Problem mit Ungeraden Exponenten

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2 Antworten

Für Polynomfunktionen deren höchster Exponent gerade ist gilt, dass der Grenzwert für unendlich kleine Werte gleich dem Grenzwert für unendlich große Werte ist. Das liegt an der Achsensymmetrie.
Deshalb reicht es wenn man nur das Verhalten für unendlich große Werte angibt.

Bei Polynomunktionen deren höchster Exponent ungerade ist sieht das aber anders aus, da diese nicht achsensymmetrisch sondern punktsymmetrisch sind, deshalb sollst du da vermutlich einmal das Verhalten für unendlich große, sowie unendlich kleine Werte angeben.

Danke! Jetzt verstehe ich den Sinn dahinter.

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HAAALT, bloß weil die der höchste Exponent gerade ist, ist die Funktion keineswegs achsensymmetrisch. Gegenbeispiel

f(x) = x^4/4 -x³/3 -x²/2 +x .

( = "Eckzahn").


Zweitens habe ganzrationale Funktionen für x → ± ∞ keine Grenzwerte, sondern sind bestimmt divergent.


Drittens ist das Divergenzverhalten für ganzrationale Funktionen, deren höchster Exponente gerade ist, für x → + ∞ und für x → - ∞ immer gleich, und

für ganzrationale Funktionen, deren höchster Exponente gerade ist, ist es für x → + ∞ und für x → - ∞ immer verschieden.

. . .

Das liegt im Kern daran, dass eine gerade Potenz einer hinreichend großen oder auch hinreichend kleinen ratrionalen Zahl jede vorgegebene Grenze überschreitet (plus mal plus ist plus und plus mal minus ist plus), wohingegen

zwar eine ungerade Potenz einer hinreichend großen ratrionalen Zahl auch jede vorgegebene Grenze überschreitet, aber eine ungerade Potenz einer hinreichend kleinen ratrionalen Zahl jede vorgegebene Grenze unterschreitet. (plus mal [plus mal plus] ist plus, aber minus mal [minus mal minus] ist minus).

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@psychironiker

p(x) = a1*x^e1 + a2 * x^e2 + ...an * x^en

M = {e1, e2, ... , en}

p ist genau dann achsensymmetrisch zur Y-Achse genau dann, wenn für alle m Element M gilt: "2 teilt m".

p ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle m Element M gilt: "2 teilt nicht m".

Danach ist aber gar nicht gefragt. Es geht um Das Verhalten ins Unendliche.

Wir betrachten nur den Grad n der Funktion (nicht aufs obere Beispiel bezogen) und den zugehörigen Koeffizient an:

  1. Wenn an > 0: Wenn n gerade: Für x -> Unendlich, f(x) -> Unendlich; Für x -> - Unendlich, f(x) -> Unendlich

  2. Wenn an > 0: Wenn n ungerade: Für x -> Unendlich, f(x) -> Unendlich; Für x -> - Unendlich, f(x) -> - Unendlich

  3. Wenn an < 0: Wenn n gerade: Für x -> Unendlich, f(x) -> - Unendlich; Für x -> - Unendlich, f(x) -> - Unendlich

  4. Wenn an < 0: Wenn n ungerade: Für x -> - Unendlich, f(x) -> Unendlich; Für x -> - Unendlich, f(x) -> Unendlich

Gruß

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@Chroz192

Öhm....jetzt bin ich ich verwirrt. Viele Wörter wie divergent verstehe ich gar nicht.

In der Klausur die ich schreiben werde, sollten nur ganz rationale Funktionen drankommen. Der Exponent wird aber nicht höher als ^4. Also kein Bruch oder sonstiges drin^^

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@psychironiker
bloß weil die der höchste Exponent gerade ist, ist die Funktion keineswegs achsensymmetrisch. Gegenbeispiel f(x) = x^4/4 -x³/3 -x²/2 +x .

Das stimmt, da habe ich wohl einen ziemlichen Bock geschossen.

Drittens ist das Divergenzverhalten für ganzrationale Funktionen, deren höchster Exponente gerade ist, für x → + ∞ und für x → - ∞ immer gleich, und für ganzrationale Funktionen, deren höchster Exponente gerade ist, ist es für x → + ∞ und für x → - ∞ immer verschieden.

Das ist das was ich eigentlich aussagen wollte.

Zweitens habe ganzrationale Funktionen für x → ± ∞ keine Grenzwerte, sondern sind bestimmt divergent.

Es ist durchaus geläufig zu sagen lim x→∞(f(x)) = ∞ auch wenn der Limes strenggenommen wohl nach den meisten Definitionen nicht existiert. In der Schule ist diese Ausdrucksweise aber oft ausdrücklich erwünscht, deshalb denke ich ist es völlig in Ordnung wenn ich es derart salopp formuliere.

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Wenn du ungerade und gerade exponenten hast brauchste die polynomdivision ich verstehe dein konkretes Problem hier jetzt nicht was willst du mit lim machen Versuch bitte die rechenschreibweise zu verwänden.

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