Mathe (Grenzwerte) - komme nicht weiter?
Aufgabe:
Berechnen Sie den Grenzwert, falls existent.
Was ich bis jetzt hab:
Fragen:
1) Wie würdet ihr hier vorgehen?
2) Woran erkennt man, ob ein Grenzwert existiert oder nicht?
Danke im Voraus 😊
So Leute, hab das jetzt erneut versucht:
Passt das so?
2 Antworten
Hallo,
wieso klammerst Du nicht e^(2x) aus und stellst es als e^x vor die Wurzel?
Außerdem - wie DerRoll vorschlägt: Dritte binomische Formel.
Zur Kontrolle: Der Grenzwert lautet 1/2.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn Wurzeln in einer Differenz auftreten versuche grundsätzlich mit der dritten binomischen Formel "rückwärts" zu arbeiten. Damit erhälst du eine Summe im Nenner und einen Term ohne Wurzeln im Zähler.
Nicht wenn du direkt mit dem ersten Term arbeitest. Deine Rechnung führt nicht zum Ergebnis.
Beim ersten Term steht nur eine Wurzel und laut der Regel die du aufgeschrieben hast müssen da zwei Wurzeln stehen
Schreibe den ersten Summanden so um, sodass da eine Wurzel steht.
Also am Ende steht "Wurzel aus irgendwas" mal "Wurzel aus irgendwas"
Bitte schau dir meine Formel an und überlege dir wie du das auf deinen Anfangsterm anwenden kannst. Du bist doch nicht mehr auf der Schule.
Ich hab noch garnicht angefangen zu studieren, alles was ich mache ist nur eine Vorbereitung auf's Studium, ich kann auch schon einiges aus der Uni-Mathematik, war aber noch nie in einer Mathe-Vorlesung.
Wenn Du einfach nur ausklammerst - e^(2x) als höchste Potenz natürlich, nicht e^x - dann bekommst Du e^x-e^x*Wurzel (1-1/e^x).
Da könntest Du sagen: Prima. 1-1/e^x geht gegen Null, 1-0 ist 1, die Wurzel aus 1 ist 1, e^x*1 ist e^x und e^x-e^x ist Null.
Das ist leider falsch. Das liegt daran, daß Du bei einem Term wie e^x*Wurzel (1-1/e^x) x nicht einfach gegen unendlich laufen lassen kannst, weil das e^x vor der Wurzel (das immer größer wird, je höher x ist) gegen das 1/e^x unter der Wurzel arbeitet, das mit steigenden x immer kleiner wird. In diesem Fall ist nicht auszumachen, wer am Ende das Tauziehen gewinnt.
Wendest Du dagegen zunächst die dritte binomische Formel an, verschwindet die Wurzel im Zähler. Durch die Erweiterung mit e^x+Wurzel (e^(2x)-e^x) bekommst Du eine Differenz aus den Quadraten der beiden Terme der Differenz, also
e^(2x)-(e^(2x)-e^x)=e^x.
Das ist der Zähler.
Im Nenner steht nun e^x+Wurzel (e^(2x)-e^x). Nun kannst Du unter der Wurzel e^(2x) ausklammern, es als e^x vor die Wurzel stellen und bekommst als Nenner e^x+e^x*Wurzel (1-1/e^x)=e^(x)*(1+Wurzel (1-1/e^x).
Wenn Du nun e^x kürzt gegen das e^x im Zähler,
bekommst Du 1/Wurzel (1-1/e^x). In diesem Ausdruck gibt es keine Gegenspieler mehr. 1/e^x geht gegen Null und nichts ist da, das es daran hinern könnte, 1-0 ist 1, die Wurzel aus 1 ist 1 und 1+1 im Nenner ist 2.
Da im Zähler nun die 1 steht nach dem Kürzen, hast Du als Grenzwert 1/2.
Hab das vorhin erneut probiert und die Frage durch meine neue Lösung erzähnt, schau mal ob das so passt 😊
Hab das jetzt mit deiner Formel versucht, schau mal ob das so passt 😊
Ja aber bei mir ist ein mal-Zeichen, kein minus